扩散方程的单元中心型有限体积格式研究

This project aims to the increasing demand of numerical simulation in Z-pinch-driven inertial confinement fusion(ICF) research and focuses on the accuracy, efficiency and confidence issues for the numerical solution of the energy equation and magnetic evolution equation in radiation magnetohydrodynamics. The main concern is placed on the study of cell-centered finite volume schemes for diffusion equations on polygonal and polyhedral grids under extreme physical conditions. The contents include high accuracy and positivity-preserving weighted algorithm, the linearity preserving scheme, the cell functional minimization scheme and the related theoretical analysis, which will contribute to enhance our ability in numerical simulation for Z-pinch-driven ICF research. Meanwhile, this project can also contribute to laser-driven ICF research and has strong correlation to many practical problems such as reservoir simulation,underground pollutants handling and so on.

本项目面向Z箍缩(Z-pinch)驱动惯性约束聚变（ICF）研究的数值模拟需求，针对辐射磁流体力学方程组中的能量方程和磁场演化方程数值求解中的精度、效率与置信度等问题，研究极端物理条件下多边形和多面体网格上扩散方程的单元中心型有限体积格式，包括高精度保正加权算法、线性精确格式、单元泛函极小化格式以及相关的理论分析等内容，为相关应用程序的研制储备高置信度算法，为提升我国的Z-pinch驱动ICF数值模拟能力作出贡献。同时，本项目的研究成果也可用于激光驱动的ICF研究，与油藏模拟、地下污染物处理等实际应用问题的研究有很强的相关性。

扩散方程的单元中心型有限体积格式如九点格式是辐射(磁)流体力学中的常用格式，其研究对相关数值模拟有重要意义。我们利用线性精确方法和离散泛函分析工具，紧紧围绕本项目的研究主题，在中心型扩散格式方面取得了一系列较为系统而深刻的研究成果。主要工作包括：一个基于两点保正插值算法的小模板保极值格式；一个具固定模板和任意插值算法的保正格式；任意多面体网格上的稳定化线性精确格式；任意多边形网格上的单元泛函极小化格式；基于单元泛函极小化格式的一种非重叠型区域分解算法。同时，我们也开展了少量相关研究，包括辐射流体力学的粘性分裂算法、节点型线性精确格式的初步探索等。自项目开始以来，我们在SIAM J. Sci. Comput., Numer. Math., J. Comput. Phys., Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., M2AN, J. Sci. Comput.等国际知名的计算科学期刊上发表了多篇高水平研究论文，引起了一些国内外同行的关注，他们或已开展了后续研究，或在其论著中对我们的工作给予正面评价。