具有多不连续边界的非光滑系统的动力学特性及其分岔机理

The investigation of complex dynamics and bifurcation mechanism of non-smooth systems which have wide engineering background has been received much attention by the international researchers and engineers in the field of dynamics and control, so it is one of the hot topics in nonlinear science. In order to investigate the influence of system parameters and discontinuous boundaries on the dynamics of the system, this project aims to study the simulation methods of non-smooth systems with multiple discontinuous boundaries and explore their complex dynamics under variation of system parameters with particular attention to hidden and rare attractors. The project will focus on studying the standard and non-standard bifurcations of periodic solutions under variation of single parameter by using the mapping method and the discontinuous geometry method for non-smooth systems with the consideration of the properties of discontinuous boundaries. In particular, this project will reveal the bifurcation mechanism of complex dynamics and the evolution of the system toward complexity. On the other hand, the project will also provide multi-parametric bifurcation sets for standard and non-standard bifurcations by using the extended continuation method, and the interactions between standard and non-standard bifurcations, and the effect of high co-dimensional bifurcation points on system dynamics will be analyzed. Finally, theoretical findings in this project will be verified by doing experiments on capsules. From the study of this project, it will enrich the bifurcation theory of non-smooth systems and provide fundamental basis for practical applications.

具有广泛工程背景的非光滑系统的动力学特性及其分岔机理受到了国际动力学与控制方面学者和工程技术人员的广泛关注，是当前非线性科学中的热点课题之一。本项目将研究具有多不连续边界的非光滑系统的数值仿真方法，并考察系统参数变化时该系统所呈现的各种复杂动力学特性，尤其是隐藏与稀有吸引子，从而探讨参数及不连续边界对系统动力学行为的影响。通过考察系统的各个不连续边界的特点，利用非光滑映射法与不连续几何方法研究单参数下该系统周期解的各种常规与非常规分岔，尤其是各种非常规分岔的产生机制，从而揭示该系统复杂动力学行为的分岔机理及通向复杂性的演化过程。基于扩展延拓法给出系统的常规与非常规分岔的多参数分岔集，并分析各常规分岔与非常规分岔之间的相互作用及高余维分岔点在系统整个动力学行为的组织中心作用。最后，以胶囊系统为实验对象，验证理论研究结果。本项目的研究将丰富非光滑系统的分岔理论，为实际工程应用提供理论指导。

具有多不连续边界的非光滑系统具有广泛的工程应用背景，它的动力学特性及其分岔机理是当前国际动力学与控制领域前沿课题之一。本项目按计划完成了各项研究任务，达到了预期目标。主要研究结果如下：（1）利用路径跟踪（延拓）方法研究了弹性与硬性约束下周期激励振子的擦边诱导分岔的差异。给出了系统在不同阻尼比例和能量恢复系数情况下的频率响应曲线及其分岔点。当阻尼比例增加时，即约束从弹性到刚性，弹性约束振子中的常规分岔（倍周期分岔、鞍结分岔）趋于非常规分岔（擦边分岔），而刚性约束振子中的非常规分岔（擦边分岔）周围无常规分岔。（2）研究了一类具有双线性阻尼的硬碰撞振子的复杂动力学。该振子为机械领域的脉冲切换系统模型，具有两个不连续边界。通过映射方法给出了该振子周期解的稳定性和分岔条件。分别以外激励频率和幅值为分岔参数对系统进行了分岔分析，并观察到吸引子共存、擦边分岔、倍周期分岔和鞍结分岔等复杂动力学现象。（3）研究了一类钻柱系统的扭转粘滑振动与多稳态性。基于广义集总参数模型，研究了三个状态共存的原因，即位粘、粘滑振动和恒定旋转，确定了多稳态临界区，讨论了多稳态切换的条件，并通过非光滑动力系统的路径跟踪方法得到该钻柱系统的分岔结构。（4）研究了一类碰振胶囊系统的动力学、物理实现及实验验证。振动冲击胶囊系统是一个非自治的两自由度非光滑动力系统，由前向和后向漂移的软冲击和干摩擦组成。通过使用封装在胶囊中的振动冲击振荡器，无需任何外部机构（如车轮、臂或腿）的要求，即可实现系统的自驱动推进。面向管道检测的自主移动传感，研究了一类碰振胶囊系统的原型开发问题。研究了一类振动冲击式自行推进胶囊系统在小肠内的建模问题。为振动冲击胶囊系统构造了一个三维映射；利用该映射，可以研究系统的全局和局部动力学，并构造出具有广泛参数变化范围的所有可能的局部映射。（5）研究了非线性离散映射中的隐藏吸引子及其控制等问题，为后续研究非光滑系统中的隐藏吸引子及其控制打下了良好基础。在国家自然科学基金项目资助下，四年中先后在国内外学术期刊上录用或发表相关学术论文14篇，已被SCI/EI检索12篇。本项目的研究进一步丰富了非光滑系统的理论，为实际工程应用提供理论参考。