Rouquier拟遗传覆盖和相对控制维数

我们拟研究Rouquier拟遗传覆盖和相对控制维数的性质、刻画、二者间的关系及直接应用。相关问题也会一并研究。.Rouquier拟遗传覆盖是研究有理Cherednik代数О范畴Schur-Weyl对偶的重要工具。它直接导致A型О范畴的刻画、复反射群型量子Schur代数的产生等一大批成果。目前有关拟遗传覆盖的存在性、覆盖度的刻画等问题研究较少。.控制维数已是研究QF-3代数Schur-Weyl对偶的关键。对Schur代数S(2,r)和一般О范畴Schur-Weyl对偶的研究需要引入相对控制维数的概念并加以刻画。继而理清一般拟遗传覆盖的(相对)控制维数与覆盖度之间的关系相当自然且有趣，计算S(2,r)和有理Cherednik代数О范畴的(相对)控制维数极为基本和重要。

控制维数起源于Nakayama关于完备同调的研究，并逐渐发展成为环论中一类重要的同调不变量。然而，研究一般有限维代数的控制维数不仅十分困难而且经常动力不足。近年来，Koenig, Slungard和Xi关于控制维数和Schur-Weyl对偶的工作以及Rouquier的拟遗传覆盖理论在研究有理Cherednik代数O范畴中取得的巨大成功无疑为控制维数的研究注入了新的活力。本项目首次尝试引入一个较大且合适的代数类(包含代数Lie理论中众多有限维代数)，以此来统一并系统推进上述研究，已取得如下一些主要成果：1) 在gendo-symmetric代数(即对称代数上生成子的自同态环)上引入了典范的余乘法结构，并给出这个余乘法定义的Hochschild上链复形的正合性与控制维数之间的紧密关系，从而得到控制维数这一同调不变量的第一个组合刻画；2) 在Schur代数上显式给出了一个余乘法，研究了它和经典不变量Permanent以及Doty余代数之间的关系，特别给出了Doty余代数维数最大的充分必要条件和Schur代数是gendo-symmetric代数，进而控制维数大于或等于2的充分条件以及计算Schur代数控制维数的组合方法；3) 利用Rouquier和Chuang等人关于Rock块的相关结果，计算了(量子)Schur代数的块代数的控制维数；4) 证明在gendo-symmetric代数的一个合适子类里导出等价保持控制维数不变。已发表论文1篇，已发表会议论文2篇，已投论文2篇，待整理工作2篇。