基于极小曲面的几何造型理论及应用

In this project, we present a new system to solve geometric modeling problems based on minimal surface. On one hand, study the minimal surface from the perspective of CAD and mainly focus on discussing and solving the problems of surface blending and surface reconstruction from point cloud data; On the other hand, based on the advantages of implicit surface on some geometric modeling problems, construct implicit minimal surface using the tensor product algebra B-spline surface. Our preliminary work has made important progress and established the good foundation for this project. This study enriches the applications of minimal surface, builds the bridge between the minimal surface and CAD, provides a effective new idea and method for the problems in geometric modeling, as well as the minimal surface towards the new application.

本项目提出了基于极小曲面解决几何造型问题的新体系。一方面，从CAD的角度出发研究极小曲面，着重讨论和解决工程应用领域中的曲面光滑拼接及点云数据重构问题；另一方面，基于隐式曲面在某些几何造型问题上的优势，利用张量积代数B-样条曲面来构造隐式极小曲面。我们前期工作已取得重要进展，为本项目的研究建立了良好的基础。本研究丰富了极小曲面的应用成果，构建了极小曲面与CAD之间沟通的桥梁，为几何造型中的问题提供了行之有效的新的思想和方法，同时也为极小曲面走向新的应用创造了条件。

极小曲面因其良好的几何性质，在微分几何方面已经有了很充分的应用和研究。在本项目中，我们旨在研究极小曲面在曲面造型问题中的应用。基于正则化的思想，我们一方面将极小曲面应用到正则化问题中去，得到了极小曲面处理散乱数据拟合问题的新模型并给出了相应的算法进行求解；另一方面对散乱数据，我们构造了可以得到稀疏拟合曲面的多层Lasso模型及相应算法，同时举例说明了算法的有效性。本项目也研究了C^k quasi-Plateau (k=1,2) 问题，该问题是极小曲面中Plateau问题的推广。通过构造Coons曲面和利用B样条的多分辨率分析，得到该问题的逼近解，同时针对不同的边界条件给出相应的算法和算例。这些结果都丰富了极小曲面的应用成果，构建了极小曲面解决曲面造型问题的新思路。