填充曲线的解析表达式及其应用

分形为研究非线性复杂现象提供了新的概念和方法。但分形必须有解析形式才易用于研究非线性复杂现象，填充曲线是经典分形例子。其价值在于它建立了一维空间与高维空间对应关系，能将高维空间中的数据映射到一维空间。它被当作一种降低空间维度和遍历的工具，在图像处理、多维数据库索引等领域都有广泛应用。现有的填充曲线编码算法均是从其几何生成规则来设计的，对大型和高维应用问题，计算非常耗时，影响它的应用普及。故研究填充曲线的解析表达式有重要理论意义和应用价值。我们前期研究得到了一些分形解析表示方法，对一些典型分形和填充曲线求出了解析表达式。但"分形的几何性质难以用传统的术语描述"，在解析表示上还有很多困难有待解决。我们将对填充曲线进一步研究，提供一个用级数表示，与进位制小数的有效位数对应，填充曲线上任意有理点的精准计算公式。为填充曲线应用推广和效率提高，提供数学支撑。并将提供种类更加丰富的填充曲线供应用选择。

Hilbert 曲线填充曲线是经典分形的例子.它是一种连续、没有交叉且经过相邻点的2 维空间扫描方法.C. Go stman 等证明它最好地保持空间局部邻接性,比其他扫描方法有明显的优越性,现已被广泛应用于图像压缩、数字图像置乱等.但它的应用受限于编码解码算法复杂和只能扫描方形正的限制.虽然有很多学者研究出许多各种算法,但没有公式化,算法难以在不同软件上轻松转换.有些学者也试图打破扫描方形正的限制.但他们都未得到真正意义上的Hilbert扫描曲线.本课题首先利用分形解析表达技术研究它的解析表达式.基于其解析表达式,导出各种Hilbert曲线的编码和解码的公式.因公式是由Hilbert曲线的分形性质导出,给出的是它的序j的二进位数表达式与它的点列的1.1对应关系.所以可以转化为多种算法描述,易在不同的软件上编程实现.利用公式可灵活设计各种Hilbert曲线并得到其编码和解码公式.在不利用空间换时间的情况下,单点算法的时间复杂性均小于等O(n).灵活的设计可得更多的密钥进行图像置乱.我们用MATLAB和C编程测试其速度,制作了图形置乱加密解密研究测试软件.试验表明置乱密钥可轻松达到10692种以上.对像素为8192X8192的图像进行13阶置乱试验,加密仅用时177.958秒,解密312.941秒.说明算法效率高,研究有实用价值,可做商业开发.与北京信息科技大学应用数学研究所合作把编码解码公式与重建图像试验中,为在快速选取Hilbert曲线点上提供保障.利用Hilbert类曲线和广义Cantor集可设计各种广义Sierpinski集并得其解析表达式.可用它模拟多孔材料.研究了三维Hilbert曲线的构造和其解析表达式.得三维Hilbert曲线可由两种空间生成元,三种空间拼接线路构成1536种不同的三维Hilbert曲线,其中有一种是每一步都要转向的.坚持举办讨论班,人员不断增加,研究方向也不断扩长.如分形解析表达,分形与复杂网络,禁止字、多重分形与自动机方面都有一点成果.发表ISCI,EI论文各一篇.已接受论文3篇.已投稿4篇,待投稿6篇.完成编码和解码用时测试报告和一个研究测试软件.