与巨磁电阻效应有关磁流体方程大初值情形动力学问题

与巨磁电阻效应有关的刻画外磁场与磁化强度关系的Landau-Lifshitz方程，当维数大于1时，其整体光滑解和blow up解的存在性是物理上和数学上一个重大的公开问题；即使是缺少外磁场、忽略各向异性场、不带Gilbert项、柱对称情形，对于大初值问题也是重大公开问题；当各向异性场是高阶近似情形，关于Landau-Lifshitz方程的研究更为困难. 而在关于液晶材料研究中提出的Landau-Lifshitz方程与不可压Euler方程、Navier-Stokes方程耦合的磁流体方程,甚至连非平凡解的特例都尚未见到. 本项目将利用我们在研究国家基金项目《与巨磁电阻效应有关的某些非线性色散方程的动力学问题》时发现的Landau-Lifshitz方程的球面锥对称解和过去得到的δ-型黏性解及其性质基础上深入研究这些问题.

刻画外磁场与磁化强度关系的Landau-Lifshitz方程，当维数大于1和各向异性场是高阶近似情形，其整体光滑解和blow up解的存在性是物理上和数学上重大的公开问题. 而在关于液晶材料研究中提出的Landau-Lifshitz方程与不可压Euler方程、Navier-Stokes方程耦合的磁流体方程, 甚至连非平凡解的特例都尚未见到. 本项目主要成果包括三个方面：一、在本世纪开初几年，一些国外数学家认为2维Landau-Lifshitz方程与由Schrodinger映射导出的Schrodinger方程等价，我们阐述了由Schrodinger映射导出的Schrodinger方程与Landau-Lifshitz方程的区别，举出了Landau-Lifshitz方程的整体光滑解被变为对应Schrodinger方程的blow up解的具体例子.还证明了由Schrodinger映射导出的Schrodinger方程等变解被变为Landau-Lifshitz方程的静态解. 二、通过辅助函数和获得的相关性质构造一对显式δ- 黏性上下解, 在整体控制映射下, 提供一个极大值原理和比较原理并用之证明了δ- 黏性解存在唯一性. 通过利用δ- 黏性上下解的性质以及我们获得的相关性质, 我们获得了3 维球面向量值的n 维Landau-Lifshitz 方程解的极限行为, 即存在两个不相交的开子集M 和N 使得δ- 黏性上解和δ- 黏性下解分别在M 内任一紧子集上趋于(0, 1, 0), 在N 内任一紧子集上趋于(0,−1, 0). 三、我们提出了求解不可压缩Euler方程（i，j）相似方法，得到了不可压缩Euler方程的一系列显式（I，J）相似解.这些解包括所有的双波解，有限能量的整体光滑解. 我们还揭示了双波解和二维不可压缩Euler方程仿射解分别是平面波解和常数向量解. 我们证明了二维Euler方程初边值问题解的唯一性和讨论了其稳定性. 我们的解揭示了Navier-Stokes方程的解在非齐次边界下不必随粘性系数趋于0而趋于Euler方程的解.