二维多群辐射扩散方程组的高效迭代算法研究

在惯性约束聚变等应用研究中，辐射输运问题的精密化物理建模需要求解时间相关的多群辐射扩散方程组。多群辐射扩散方程组的离散导出大规模病态非线性代数方程组,其求解对计算机的计算能力，特别是求解方法提出了巨大挑战。以往研究中采用的分裂源迭代方法对时间步长有较强的限制，不适应大规模数值模拟。原方法采用大时间步长离散时易导致迭代不稳定，而采用小时间步长求解时，导致时间步太多而离散开销增大，计算时间太长。本项目将对多群辐射扩散方程组分裂算法进行分析，以得到对该问题的深入理解,并由此设计新的分裂迭代算法，及采用耦合性更强的算法求解。目标是构造出稳定时间步长可增大一到两个量级，同时保持原方程的守恒性，保正性等性质的实用算法；并利用应用问题对新的方法进行计算和考核，验证新算法在放宽时间步长限制的同时,保持所需的计算精度，解决多群辐射扩散原解法中时间步长限制的问题，提高计算效率。

本项目研究的二维多群辐射扩散方程组的高效迭代算法，是惯性约束聚变（ICF）等数值模拟中的重要数学方法。 传统的求解算法分裂迭代算法，在实际应用中，出现迭代收敛慢甚至假收敛的问题。 针对此困难问题，本课题研究了高效求解方法和基础理论问题，主要取得了如下的几项进展。.1.获得了分裂迭代算法的收敛速度的理论结果;.对多群辐射扩散方程组的分裂迭代算法进行了迭代算法收敛性的理论分析，通过采用Fourier分析方法，得到了分裂迭代算法的迭代矩阵的谱半径估计的理论公式，该公式阐明了方程组中的对应的各种系数的复杂的关系。此结果从理论上证明了其值严格小于1，从而得到了收敛性的证明。数值计算了一系列典型的参数下该公式的具体数值，对计算结果的分析表明: 电子离子耦合系数对收敛性的影响较小; 而辐射不透明度的改变对收敛性的影响更为明显。数值计算表明，对较大的不透明度，当辐射温度升到三个百万度左右时，收敛速度迅速下降。对测试模型进行了大量数值计算，验证了对较小的耦合系数和不透明度，收敛速度快; 而对较大的不透明度，收敛非常慢。并在实际计算中出现假收敛的情况。本研究成果明确了改进多群辐射扩散方程组求解的研究方向。.2.设计了多群辐射扩散方程组的全耦合求解的迭代算法，改进求解的速度;.针对分裂迭代算法的收敛性分析结果，提出了全耦合的迭代算法。新算法中设计了高效的矩阵分裂的存储方法，实现了矩阵的高效表示，并很方便地给出预条件；分析了全耦合迭代算法的性质，表明全耦合求解的矩阵是一个M-矩阵。数值计算表明其收敛性质要好于分裂迭代算法，并且对于困难的问题能很好地求解达到收敛。.3.提出了适用于全耦合求解的更有效的灰体综合加速预条件，对数值算例可以加速4倍。.针对全耦合的迭代算法，提出了基于分裂和灰体综合加速的新预条件子，和原预条件相比，新的预条件子只需要求解一个扩散方程，同时保持了原方程组中辐射方程和电子离子方程之间的耦合，使得在计算量大幅降低的同时，保持了良好的预条件效果，数值算例验证了新预条件子的有效性。. 本项目研究提出的全耦合迭代算法已经在应用程序LARED-R中实现，用于求解光性厚的多群辐射扩散方程组,在实际应用中取得了较好的应用效果。. 在本项目的支持下，课题组成员参加了多次学术交流会议，发表了研究论文2篇，另有一篇已经接收，两篇正在撰写。