行为准则与契约双方联合利益假设下的最优保险问题

The optimal insurance problems from the insured's point of view have been widely studied in literature. However, the experiment results suggested that the insured's decision-marking behaviour is modeled by Kahneman and Tversky's Cumulative Prospect Theory, in which a S-shape utility function was used to measure the terminal wealth of the insured. Meanwhile, as a risk transferring tool, an insurance policy should consider two parties' interests, which conflict with each other in most of cases. The proposed work will study the optimal insurance problems between a behavioral insured and a risk aversion insurer with the consideration of the joint perspectives from two counterparties in the sense of (1) looking for Pareto optimal solutions; and (2) maximizing the insured's terminal wealth utility under the insurer's risk constraints. Finally, the continuous time model of constructing the optimal portfolio of insured's consumption, investment and buying insurance will be discussed.

现有文献中，关于投保人的最优保险模型得到了广泛的关注。 然而，实验数据表明， 投保人的决策行为更接近于由Kahneman和Tversky提出的累积性前景理论所刻画的行为准则。其中，投保人的终期财富效用函数将呈现出S-shape的形状。 另一方面，保险契约作为投保人和承保人之间的风险分摊合约，应该最大限度的同时体现和保障买卖双方的利益，尽管这两种利益在多数情况下是相互冲突的。基于这两方面的考虑，在本项目中，我们将探讨在行为准则投保人与风险厌恶型承包人之间的最优保险模型，并通过以下两种方式体现双方的联合利益：(1) 投保人与承保人之间的博弈问题；(2) 在承保人的风险限制条件下最大化投保人的终期财富期望效用。最后本项目将探讨在连续时间模型下选取投保人的消费、投资与购买保险的最优策略组合。

随着保险市场的不断成熟和风险管理技术的快速改进，市场参与者对于保险产品的需要也随之提高。现有文献大多侧重单一市场参与者，忽略了其它市场参与者的诉求与利益， 过度简化了保险市场的复杂性。在现实中，保险合约是多位市场参与者共同协调与相互影响下的产物，在设计中就需要同时考虑不同参与者的利益需求和条件。由于市场参与者之间本身存在着矛盾的利益诉求，此类问题在数学建模和求解上存在更多的困难和挑战。.在本项目中，我主要研究了包含多位保险市场参与者的最优保险设计和风险分摊的问题， 以及相关的风险度量的科研问题。.1. 在课题一中，我们对包含多个参与者的保险市场进行了建模，并采用行为准则理论中的Distorted Utility (DU) Rank-Dependant-Utility (RDU)描述每位市场参与者对财富的偏好。因此我们的模型有效的拓展了行为准则理论在风险分摊问题中的应用。我们论证了市场均衡的存在性，刻画了均衡状态下的风险分摊函数，证明了财富第一和第二定理。.2. 在课题二中，我们优化投保人的目标函数，同时考虑了保险公司的免赔条款。免赔条款降低了保险公司的理赔负担同时增加了投保人的风险。我们求解了投保人的最优保险策略，并证明了免赔条款降低了投保人对购买保险的需求量。在第二部分中，我们侧重于风险测度的研究和应用。我们首先定义并刻画了“Law-invariant Convex Risk Functionals”。该风险测度囊括了大部分常用的风险测度，因此我们的公理化刻画具有很强的一般性。为了论证公理化刻画的有效性，我们使用该风险测度描述保险市场参与者的行为偏好，并求解了最优保险策略。在第三部分中，我们通过系统性风险刻画了多位投保人之间的风险相依程度，讨论了系统性风险对于保险供给的影响，证明了当风险正相关性变大时，保险的供给会减少并出现供给严重不足的情况。我们的结果从行为理论的角度解释了巨灾保险市场中供需的不匹配。.3. 在课题三中，我们在连续模型下讨论了当市场存在充分竞争时，投保方最优的风险分摊组合以及承保方最优的定价策略，并求得了市场最优的均衡解。