非均匀介质内传输问题及其特征值问题的数值方法研究

The interior transmission problem and the associated eigenvalue problem in inhomogeneous media are important research issues in many fields, such as geological prospecting, radar imaging and nondestructive testing. They have attracted much attension in recent years and become new hot issues in the research field of scientific and engineering computing. This project has very important theorectical value and lots of applications. Even though there are some works on the theory of these problems, the study on practical numerical methods of high efficiency is quite limit. This project aims to develop highly efficient discretization schemes for the interior transmission problem of both Helmholtz and Maxwell equations, derive the priori and the a posteriori error estimates, and design new domain iteration algorithm based on the coupling of the boundary conditions. For the interior transmission eigenvalue problem, we will also seek the equivalent coupled variational problems, construct stable nonlinear iterative methods and prove the convergence of the methods. Finally, fast and efficent numerical methods will be designed to solve the large scale inverse acoustic and electromagnetic scattering problems.

非均匀介质内传输问题及其特征值问题是地质勘探、雷达成像、无损探伤等众多领域的一个重要研究课题，近几年吸引了国内外很多专家学者的研究兴趣，成为科学工程计算中新的研究热点。本项目的研究具有重要的理论价值和广泛的应用前景。目前关于该问题的研究工作主要还停留在理论层面，数值方法方面的结果并不多，特别是高效实用的数值方法亟待进一步研究。本项目主要拟针对Helmholtz方程和Maxwell方程内传输问题研究高效的数值离散格式，推导离散方法的先验和后验误差估计，利用边界条件耦合设计新的区域迭代算法；针对Helmholtz方程和Maxwell方程传输特征值问题，探索等价的耦合变分问题，构造稳定的非线性迭代方法，并进行收敛性等相关理论分析；进而对声波和电磁逆散射问题设计更为高效的数值方法，并进行相关的大规模数值模拟。

本项目主要针对非均匀介质内传输问题及其特征值问题等相关的微分方程边值问题和特征值问题，展开广泛而深入的研究，取得很好的研究成果。(1) 针对内传输特征值问题，给出了相应特征值以及特征函数的有限元离散误差估计。设计了相应的多尺度算法，证明了该方法利用较少的计算同样达到了理想的计算精度。(2) 针对更加复杂的非线性特征值问题，我们提出了保球约束的可行梯度方法以及正则化牛顿方法，这两类方法在数值计算上都体现了其快速、稳定的优势。(3) 针对解的支集分布不集中的情形，研究了对应的完全匹配层方法以及自适应算法。(4) 针对内传输特征值问题的有限元离散，通过研究其后验误差估计，设计了相应的自适应算法。此外，我们还结合我们的教学编写了本科生教材《微分方程数值解》。