多元复分析中逆紧全纯映照问题研究

We study the unit balls in different dimensional complex Euclidean space in several complex variables.We may consider proper holomorphic maps between the unit balls from the perspective of domain. we also may investigate the problems on the unit sphere by the view of CR submanifolds. There are abundant research contents in two fields. Many experts on sevaral complex variables and differential geometry probe into the problems.In general, it is easy relatively to understand the problems of proper holomorphic maps between the unit balls, but it is difficult to solve them.It seems very visual,however,there are some difficuties from two aspects.One is that there are substantial obstacles by the traditional tools and means.The other is that the computation is complexity and can not be operated. By using the new method, we have obtained some achievements for the study of the problems.In the project, we will study the problems in three view as follows .Firstly, We will study proper holomorphic maps between the unit balls by applying the projective second fundamental form and CR second fundamental form.Secondly,we give the relationship between Gauss mapping and proper rational holomorphic maps between the unit balls.Lastly, we obtain the way from proper rational holomorphic maps into proper polynomial holomorphic maps by finding the appropriate subgroup of the automorphism group，and write the explicit formulas of the polynomial. We will carry on the new attempt for the development and perfection of several complex variables by the deeply study on the above problems.

不等维多元复欧式空间中的单位球，无论是从域的角度考察其上的逆紧全纯映照问题，还是从边界的角度考察其上的CR子流形问题，都有着丰富的研究内容。众多复分析和复几何领域的专家对这些问题的研究都做过贡献。一般来说，单位球间的逆紧全纯映照问题直观，但解决起来比较困难。传统的工具和手段或者有实质性障碍，或者因为计算复杂而无法实施。 项目组以全新的手段和方法研究这些问题并取得了阶段性的成果。本项目将在此基础上继续深入研究如下三方面问题：利用射影第二基本形式和CR第二基本形式研究单位球间的逆紧全纯映照问题；探讨利用Gauss映照研究有理逆紧全纯映照问题；寻找自同构群的子群，把有理逆紧全纯映照化为多项式逆紧全纯映照，进而给出多项式映照的显示表达式。 本项目对这些问题的深入研究必将对多元复分析与复几何理论的进展和完善做出贡献。

不等维多元复欧式空间中的单位球，无论是从域的角度考察其上的逆紧全纯映照问题，还是从边界的角度考察其上的CR子流形问题，都有着丰富的研究内容。一般来说，单位球间的逆紧全纯映照问题直观，但解决起来比较困难。 项目组以全新的手段和方法研究这些问题并取得了阶段性的成果。. 一是有理逆紧全纯映照与多项式映照问题。众多国内外学者对复欧式空间中的单位球 到 上的逆紧全纯映照问题进行了刻画，从理论上证明了二维单位球到任意维单位球上的二次有理逆紧全纯映照必然等价于二维单位球到五维单位球上的二次多项式逆紧全纯映照。项目组详细计算了单位球间的部分有理逆紧全纯映照和多项式映照问题，写出了部分多项式映照的显示表达式。. 二是逆紧全纯映照的线性性与几何量的关系问题。我们利用Cartan活动标架理论和Klein的 Erlanger纲领理论把单位球上逆紧全纯映照问题转化为复射影空间意义下的问题。建立外微分形式的Maurer-Cartan方程，构造单位球面的射影第二基本形式和CR第二基本形式，利用这两个第二基本形式的关系研究逆紧全纯映照的线性性问题，利用Gauss映照的退化性研究单位球间有理逆紧全纯映照。. 三是几何秩与有理逆紧全纯映照以及线性性问题。本项目组继续对几何秩为1时，单位球间的逆紧有理全纯映照的表达形式和分类进行系统的研究，对三维及以上复欧氏空间中的单位球到任意N维复欧氏空间中的单位球之间的有理逆紧全纯映照的表达形式和线性性问题得到了新的研究结果。把高维空间之间的逆紧有理全纯映照，逐次分解为恒等映照和低维空间之间的逆紧有理全纯映照，从而彻底理解了高维空间之间的逆紧有理全纯映照问题。. 四是退化秩与CR映照以及线性性问题。利用凯莱变换能把复欧氏空间单位球面之间的CR映照转化为Heisenberg超曲面之间的映照。在Heisenberg 超曲面的切空间基础上，有所谓退化秩的概念。项目组研究了小退化秩和几何秩条件下，单位球面之间的CR映照，进而分类了单位球之间有理逆紧映照，描述了某些映照族的具体表达形式。