对无A-R条件的非局部椭圆型方程的研究

The variational method is one of the main theories in nonlinear functional analysis and an important research area in modern mathematics as well, with very extensive and deep applications in areas such as nonlinear differential equations. However, the energy functional with respect to the differential equation may not satisfy (PS) compact condition if the nonlinearities don’t verify so-called Ambrositti-Rabinowitz condition. Sometimes we even can not obtain the boundedness of (PS) sequence. And so the variational method could not show its powerfulness. The content to study include mainly: the existence of ground state solution of Kirchhoff equation without Ambrositti-Rabinowitz condition; the existence of ground state solution of Poisson-Maxwell system without Ambrositti-Rabinowitz condition. At that this since the differential equations is non-local we will encounter new difficulties to study the existence of solutions of those equations and various properties of those solutions by classical variational method.Those problems listed above are not only highly important mathematical problems, being located at the forefront of the research area of nonlinear analysis at the international lever, but also problems with great difficulties, new methods and ideas being needed in order to solve them. In this project we will use variational method and topological methods combined with various techniques in analysis to study several important problems in nonlinear elliptic equations, looking forward to obtain good results.

变分方法是非线性泛函分析的主要工具之一，是现代数学的重要研究领域，在非线性微分方程等领域有非常广泛和深刻的应用。但是，对于含有非局部项的非线性椭圆型偏微分方程，当非线性项不满足超4次A-R条件时，微分方程所对应的能量泛函一般没有(PS)条件，这时我们甚至不能得到(PS)序列的有界性。本项目拟研究的问题就是这些情形，具体内容如下：没有超4次A-R条件的Kirchhoff方程基态解的存在性；没有超4次A-R条件的Schrodinger-Poisson-Slater系统基态解的存在性。这时的微分方程是非局部的，应用通常的变分方法研究基态解的存在性和解的性质时会出现一些新的现象。这些问题既是重要的数学问题，处于国际非线性分析领域的前沿，同时也是非常困难的问题，解决起来需要新的方法和思路。本项目将结合变分方法，拓扑方法，截断技巧和爆破技巧，对上述两类偏微分方程进行研究，期待能作出出色的工作。

近年来，非线性非局部椭圆型偏微分方程吸引了研究学者们的广泛关注，这是因为在解方程时应用标准的变分方法会遇到一些困难，比如(PS)序列的有界性。该项目研究了两类没有超2次Ambrositti-Rabiniwitz条件的非局部椭圆型偏微分方程解的存在性和多重性。对一类Schrodinger-Kirchhoff方程，在超线性次临界增长的情形下应用变分方法特别是环绕定理和形变理论得到方程在反向位势的情形下是没有基态解的，但存在一个束缚态解。难点在于估计临界值的大小和得到泛函满足Palais-Smale紧性条件，并且在验证泛函具有环绕结构时需要用到拓扑度理论和Cerami的重心技巧。同时还考虑了方程带有多个临界项的情形，研究发现临界项具有竞争现象，高阶项控制低阶项，在不同的临界指数条件下有不同的整体极小解和山路解。对另一类Schrodinger-Poisson-Slater系统，首先，在位势函数在无穷远处满足一定的增长条件时可以得到一个新的嵌入定理。然后，应用截断技术和一个修改版本的Clark定理，我们得到修正方程的一串范数趋于零的解。最后，通过做估计，我们得到这些解在最大值范数的意义下也是趋于零的，从而得到原方程的无穷多解。另一方面，通过应用分解Nehari流形的方法和Ekeland变分原理得到带有变系数位势的临界Schrodinger-Poisson系统具有一个山路解和一个局部极小解。其中一个是整体Nehari流形上的极小，具有负能量，另外一个是负定Nehari流形上的极小，具有正能量。这种方法的核心需要用到流形的非退化性质。. 该项目的研究使得我们清楚了上述两类非局部椭圆型偏微分方程的解的存在性性和多重性, 以及非线性项对方程的结构的影响，特别是超4次Ambrositti-Rabiniwitz条件在保证非局部椭圆型方程解的存在性时不是必须的，仅需泛函满足一定的几何条件。该研究完善和补充了非局部椭圆型偏微分方程解的基础理论，为广大研究者提供了新的观点和实例，具有一定的指导意义。依托该项目项目负责人出国学术访问8个月，发表学术论文若干，培养了一批硕士研究生。