测度空间上的谱和小波

This project is intended to study: (1) the existence of orthonormal bases, Riesz bases and frames, of exponential type, for the function space L^2(u) when u is a probability measure with compact support. These issues are the foundation of building harmonic and nonharmonic Fourier analysis for L^2(u); (2)the construction of a Gabor system by adding a window function when the measure u has no compact support, and to study when the Gabor system becomes an orthonormal basis, Riesz basis, or frame, and the relevant problems. These issues are basic problems in wavelet analysis and often present difficulities by themself; (3)a systematical research of the continuous frames for L^2(u) and to build a related theory. One feature of the project is a combined study of the problems (1) and (2); The common point of the two issues is that the measures in (1) and the window functions in (2) are both supported by sets with special goemetric structures (for instances, they might be unions of several intervals, self-similar sets and homogeneous Moran sets etc.). One of the most difficult points is to study the distribution of roots of some special polynomials with integral coefficients. These problems are naturally linked to number theory, harmonic analysis, wavelet theory, and geometric measure theory. The project team intends to combine different tools to accomplish the research.

本项目拟研究：（1）当测度u为具有紧支撑的概率测度时，L^2(u)中是否存在指数型正交基、黎兹基和框架及相关问题。它们是建立L^2(u)上调和与非调和傅里叶分析的前提和基础；（2）当测度u不具有紧支撑时，增加窗口函数构成Gabor系统。研究Gabor系统何时成为L^2(u)中的正交基、黎兹基和框架及相关问题。这是小波分析中基本而困难的问题；（3）系统研究L^2(u)上的连续框架，逐步建立相关理论。将（1）和（2）结合起来研究是本项目的特色，两种情形的共同点是测度和窗口函数的支撑为具有特殊性质的集合（如有限区间并、自相似集、齐次Moran集等）。相同困难点集中在特殊整系数多项式的零点分布和结构上。本项目组拟结合常用工具，引入简单测度卷积列逼近方法、新的数论方法等研究前述问题。本项目的中心主题是分形几何、小波分析、调和与非调和Fourier分析自然结合产生的问题。

本项目研究概率测度生成的平方可积函数空间中各种傅里叶基的存在性问题及其应用。这是测度上调和与应用调和傅里叶分析中的基本问题，也是前一面上项目研究工作的继续。项目组主要研究具有紧支撑的分形概率测度何时成为正交谱测度、Riesz谱测度和框架谱测度（这也是小波分析中的主题），以及成为谱测度后其对应的谱结构性问题。项目组的研究是对经典分析理论的有益补充和延拓。其本身具有独特的性质，对比经典分析我们发现了许多奇异现象。这是本项目研究的动力和兴趣所在。. 项目组成员及其合作者在研究分形测度成为正交谱测度的条件及方法，正交谱测度的谱结构等方面取得一系列突破性进展，提出了新思路，建立了新方法和新技巧。它们已成为研究谱测度相关问题的三种主要框架性方法之一。研究成果多数以论文形式体现，包括20篇标注有基金资助的论文，其中有Adv. Math.（3篇），J. Funct. Anal.（3篇），Trans. Amer. Math. Soc.(To appear，已上网)(1篇)，Constr. Approx.（1篇）等国际杂志。. 项目组主要成员近期的研究工作是该项目的深入，延拓和应用。谱测度问题包含了丰富的内容。主要延拓为研究分形谱测度构成空间中函数的傅里叶展式的各种收敛性问题，和动力系统、概率等相结合的问题等。