基于压缩传感的特殊优化问题的快速算法及其应用

压缩传感理论是在已知信号具有稀疏性或可压缩性的条件下，采用非自适应线性投影保持信号的原始结构进行编码，传输，通过求解数值最优化问题准确重构原始信号的新理论。压缩传感理论为数据采集技术带来了革命性的突破, 得到了研究人员的广泛关注。本项目研究基于压缩传感理论的l1范数优化模型一维稀疏信号恢复；全变分优化模型二维图像清晰重构；核范数优化模型矩阵修复的快速算法。项目的研究成果对于压缩传感在医疗成像、模式识别、地质勘探、光学/雷达成像、无线通信等领域的广泛应用具有重大的推动作用。

项目研究了基于压缩传感矩阵的L1范数、TV范数、矩阵核范数优化问题的算法，主要成果如下：（1）提出了求解L1范数正则化问题的谱梯度算法，转化问题为非线性方程组，证明了该方程组满足单调性质，所提算法不需要方程组导数信息，并且使用算法恢复压缩传感高维稀疏信号。（2）提出了求解TV模型图像恢复的的交替方向法，增加变量把问题等价转换，充分利用有限差分算法结构，子问题存在解析解，证明了算法的全局收敛性和局部线性收敛性质。（3）提出了求解矩阵核范数的交替方向算法，添加变量问题等价转换，其中某一子问题使用谱梯度算法或者线性共轭梯度算法求解，算法迭代形式简单，有较好的数值表现。（4）提出了求解矩阵L21混合范数的交替方向法，利用L21范数的结构，推出了子问题了的解析解存在，并应用于算法成功获取多任务间的稀疏特征。（5）提出了求解矩阵核范数和矩阵L1范数混合模型的分裂增广拉格朗日算法，利用线性化技术使得算法全局收敛，并应用算法求解多维数据分割问题。本项目共发表学术论文16篇，其中SCI收录14篇；培养硕士研究生6名；在全国性重要学术会议上做分组报告3次，大会报告1次；项目申请人出境学术交流2次共计9个月，邀请境外专家来访2人次。