非线性薛定谔型方程的怪波解

The rogue wave is one kind of short lived local large-amplitude wave. Originally, the kind of suddenly appearing large amplitude wave was observed in the ocean, which is responsible for many perils of the sea and an enormous threat of the ships, vessels and oil drilling platform in the ocean. In 2007, the optical rogue wave has been observed in an experiment by physicists. This result has enforced the study of the rogue wave. In this project, we shall study the construction, initial value problems, interaction, asymptotic behavior, generation mechanism and possible applications of the rogue waves for the equations of the nonlinear Schrodinger type. These equations include nonlinear Schrodinger equation and several versions of its modification. The main tools for research are inverse scattering method, Hirota method and Darboux transformation. The non-vanishing property of the rogue wave at infinite leads to the considerable difficulty. The selected topic in this project is one of the international frontiers and core subjects of the research of the integrable systems, which has important value of science and extreme value of potential applications. The research of the project will get novel and important results on the initial value problem, properties and applications of the rogue waves.

怪波是一种短时间存在的局域的大振幅的波动。最初,人们在海洋中发现了这种突然出现的大振幅波动，它导致了很多海难,对海上航行的船、舰艇和石油平台等有极大威胁。2007年,物理学家在实验中首次观察到光学怪波，这极大地推动了怪波的研究。由于非线性薛定鄂方程的一种特殊的（准）有理解可以很好地描述怪波,故这种(准)有理解也被称为怪波解。本项目拟研究非线性薛定鄂型方程（即非线性薛定鄂方程及其各种修正、推广的方程）的怪波解的构造、初值问题、相互作用、渐进行为、形成机制和可能的物理应用,主要的研究手段是反散射方法、Hirota方法、Darboux变换方法等。由于怪波解在无穷远处的渐进行为是非零的，这给用上述方法求解相关方程带来很大的难度。这些选题是当前可积系统研究的国际前沿和核心课题之一,有重要的科学价值和极大的潜在应用价值。本项目的研究会在怪波的初值问题、性质、应用等方面做出创新性的重要结果。

怪波是一类大振幅短时间存在的局域性的波。在早期研究中，怪波是指海洋突然出现、很快消失的很高的波浪。这种波的突然性和极大振幅，从而有很大破坏性。因而是海洋工程学科重要研究对象。 2007年后，这类现象在光纤， 水箱，等离子体等多种物理实验中得到证实，从而很快成为最近10年中非线性物理和数学重要研究热点。 当然，这样大振幅局域波有正反两个方面的价值。一方面，有极大危害性， 比如很容易烧毁目前网络极为关键路由器； 另一方面也可以用来产生极大能量的光脉冲，从而也许可以用于一些医学或国防方面。不管从应用或避免这类怪波现象，都需要 弄清楚它的发生机制，以及如何预测，如何观测等问题。 为此，用偏微分方程的解来描述怪波就有重要价值。.. 项目完成人在以前研究基础上，2013-2016期间， 积极推进怪波研究， 对20个非线性薛定鄂型方程的怪波解展开研究， 发表SCI论文 33篇。 利用达布变换， 提出了高阶怪波的构造方法，并提出行程机制：n阶怪波来来自n个互相子的双重退化，从而证明了n阶怪波峰个数和圆圈分解规律这两个猜想； 引入了怪波局域性刻画方法：对复mKdV方程的怪波解，通过等高线定义其长，宽和面积； 提前了非对称怪波的严格解，并和国外专家合作对这类波进行了观测证实；给出了可积系统研究中30多年来没有解决的两个问题：KE方程和第二型导数非线性薛定鄂型方程的达布变换，给出来怪波解。另外，也用Hirota方法研究了怪波。 这些研究推动了人们对怪波的认识，也得了不少国内外知名学者引用。