依赖于外生变量的条件协方差矩阵的半参数估计

The covariance matrix can reflect the relationship between variables, and its estimation and modelling play an important role in many research fields, such as risk management, gene research and signal processing. In the era of big data, the increasing dimensionality makes the statistical inference of covariance matrices much more difficult. At present, existing related studies usually assume that high dimensional covariance matrices are sparse, but in many circumstances, this assumption may not be true due to the correlations between variables. Additionally, previous studies usually assume that covariances between variables are constant or changing over time, but seldom take into account the fact that correlations could be affected by other exogenous variables. Therefore, in this project, we aim to investigate semiparametric statistical inference problems of non-sparse high dimensional conditional covariance matrices for the case that correlations are dependent on other exogenous variables. We will study the semiparametric estimation of conditional covariance matrices dependent on one-dimensional exogenous variable and multi-dimensional exogenous variables respectively and establish asymptotic properties of the estimators, so as to fill the gaps in related fields. Meanwhile, we will also explore the algorithms of related problems and utilize real data sets to demonstrate the validity of our proposed models and approaches.

协方差矩阵能够反映变量间的相关关系，其估计与建模在多个研究领域如风险管理、基因研究、信号处理中都有着重要作用。大数据时代，变量维数的不断增加使协方差矩阵的统计推断变得更加困难。目前，已有的相关研究通常假设高维协方差矩阵具有稀疏特征，但很多情况下变量间的相关性导致该假设不成立。另一方面，已有的研究通常假定变量间的协方差是恒定不变的或随时间变化而变化的，但鲜有考虑相关性受其它外生变量影响的情况。因此，本项目拟在变量间相关性依赖于其它外生变量的情况下，研究非稀疏高维条件协方差矩阵的半参数统计推断问题。我们将分别针对外生变量为一维变量和多维变量的情形，研究矩阵的半参数估计方法以及估计的渐近性质，以填补相关研究的空白。同时，我们也将对相关问题的算法进行深入探索，并通过实际数据分析说明所提出的模型和方法的有效性。

条件协方差矩阵能反映变量间的相关关系受不同因素影响时的变化情况，对基因网络研究、投资组合构建等有重要意义。然而，已有研究大多考虑常数协方差矩阵或稀疏条件协方差矩阵的建模与估计，鲜有考虑条件协方差矩阵受其他外生变量影响的情况。本项目研究外生变量影响下非稀疏条件协方差矩阵的统计推断问题。首先，考虑误差自相关和滞后变量的影响，基于Whittle似然创新提出了一种半参数方法，弱化了已有研究的假设条件，给出了估计量的渐近性质，并通过统计模拟与实例分析说明了该方法的有效性；然后，研究了动态条件协方差矩阵估计量对带权重约束的资产组合配置的影响，阐述了DCC-NL估计量的优势。其次，针对自变量或协变量可能出现的非独立删失现象，基于条件风险率提出了新的非参数回归方法，在模型的泛化能力和方法灵活性上有了极大改进，并分别从渐近性质、数值模拟、实际数据分析方面展示了新方法的优越性。另外，为了更好地刻画非稀疏特征，本项目将对于条件均值建模的潜在因子模型推广到对条件协方差建模，借助无需设置惩罚项和调整参数的双重交叉验证构建了函数型因子个数的确定方法，并结合B样条估计条件协方差矩阵。进一步，基于压缩估计的思想对协方差矩阵中的元素进行条件不相关、条件静态相关和条件动态相关的区分，推导了高维矩阵估计量的渐近性质，同时对变量间的相关关系提供了更为直观的描述，从而对不同领域的复杂问题提供了有意义的指导。本项目还利用可加模型、单指标模型研究了所提出的方法在多维外生变量情形的推广。