Bergman-Toeplitz算子的几个基本问题

In this proposal, we will employ the techniques in operator theory, operatoer algebra, analytic function theory and harmonic analysis to study several fundamental problems on Bergman-Toeplitz operators. We will devoted to studying the following three problems: (1)study the invertibility and spectrum structure of the Bergman-Toeplitz operators with bounded harmonic symbols; (2)study the spectrum of the analytic Toeplitz operators on the harmonic Bergman space via reverse Carleson measures in the Bergman space; (3)characterize the asymptotic behavior of the determinant of the Bergman-Toeplitz matrix, and establish the Bergman space version of the Second Szego Theorem.

本项目将综合运用算子理论、算子代数、解析函数论与调和分析的技术研究Bergman空间上的Toeplitz算子的几个基本问题。我们主要关注以下三个问题：(1)研究Bergman空间上有界调和符号的Toeplitz算子的可逆性与谱结构；(2)利用Bergman空间中的反向Carleson测度来研究调和Bergman空间上的解析Toeplitz算子的谱；(3)刻画Bergman空间上Toeplitz 矩阵的行列式的渐近性质，并建立Bergman空间版本的第二Szego定理。

Toeplitz算子和Toeplitz代数与函数论、调和分析的交叉领域是近些年算子理论和算子代数研究的热点。自上世纪60年代以来，Toeplitz算子理论的众多研究成果已在函数论、算子理论、算子代数、调和分析、随机矩阵等领域产生了深远的影响，并发挥了重要的作用。 此外，Toeplitz算子的研究成果在许多应用学科 (如：统计学、图像处理)，物理学 (如：量子力学、热学)，甚至是工程技术中也有着广泛的应用前景。经过几十年的发展和完善，Toeplitz算子理论在多个领域中的渗透日渐深刻。因此，研究Toeplitz算子理论及其相关领域的课题，不仅可以促进不同领域之间的学科交叉和融合，而且还具有创新性的应用价值。然而，一些与Toeplitz算子相关的基础性和前沿性的问题虽长期受到学者们的关注，但仍未完全解决。因此，这迫切需要发展新的理论工具和寻求新的解决方案。..本项目主要研究Bergman-Toeplitz算子的可逆性、谱结构、Bergman-Toeplitz矩阵的行列式的渐近性质，以及对偶Toeplitz算子的谱以及亚正规性。我们的研究成果可简要地概括如下：(1)给出了以某类调和多项式为符号的Bergman-Toeplitz算子可逆的充要条件，并且系统地研究了这类算子的谱的连通性，这是近十年来关于Toeplitz算子的谱的最新进展；(2)完全建立了Bergman空间版本关于Toeplitz行列式的第一Szego定理；(3)利用古典代数曲线的办法研究了调和Dirichlet空间上解析多项式符号的Toeplitz算子的谱结构；(4)建立了Bergman空间正交补上的对偶Toeplitz算子可逆性的充分条件和必要条件，给出了其谱连通性的系统刻画，部分地回答了2002年由Strothoeff-Zheng提出的公开问题；(5)研究了调和Bergman空间正交补上的对偶Toeplitz算子的有界性、紧性、正定性、可逆性、亚正规性以及算子代数性质。