涨缩渗透管道流动解的存在性及稳定性研究

Laminar flow studies in porous pipe or channel with expanding or contracting walls , which is a physical problem with special boundary conditions, have received considerable attention in recent years. It is one of the new exact solutions to the Navier-Stokes equations. The motivation for the investigation in part anyway, is physiological with application to an understanding of the flow of the blood which is being forced by systole into the aorta or the unsteady air flow through a thin bronchial tube. The equation obtained by introducing a suitable similar transformation is a fourth-order differential equation including the expansion ration and permeability Reynolds number. If the walls are stationary, the model becomes the Berman problem. However, most of the above works considered the flow as Newtonian fluids. In this project, we want to extend the model to Non-Newtonian fluid,such as the micropolar fluid, power law fluid, Cassion fluid and so on, and to discuss the effects of various parameters on the flow. The purpose of this project is to obtain the solutions of the governing equations using analytical method or numerical method, to analysize the effects of various physical parameter like the expansion ratio, the permeability Reynolds number and some non-Newtonian parameters on the flow in the channel or pipe, to discuss the existence, the uniqueness and the stability of the solutions with the effects of different parameters, and to compare the similarity solutions with the numerical solutions.

变直径的涨缩可渗透的管道内的流体流动，是近年来逐渐引起人们注意的一种特殊边界条件的物理问题，是对Navier-Stokes方程精确解的一个新的贡献. 其相似方程是包含Reynolds数和膨胀系数的一个非线性的4阶边值问题.若壁面静止，则该问题退化为Berman问题. 这样的边界条件的提出的初衷就是要研究胀缩管道中的血液流动和与肺相连接的气管内的气体流动.对于这一问题的研究现在主要局限在牛顿流体. 基于这样一种情况，本项目拟把管道流体模型推广到非牛顿流体，如微极性、幂律流体、卡森流等，讨论多参数影响下管道内流体的流动特征. 研究内容包括：应用现代的解析方法或者数值方法对方程求解，分析壁面的膨胀、渗透及非牛顿特征参数对管道流动的影响，讨论解的存在性、唯一性、稳定性问题，对相似解和数值解进行比较.

Deuenhauer和Majdalani建立的涨缩渗透的这一特殊边界条件下矩形管道内的牛顿流体的流动模型，这是对Navier-Stokes方程精确解的一个新的贡献. 若壁面静止状态，则该问题退化为经典的Berman问题. 但是其计算的解析结果仍需进一步完善，例如消除其渐近解的奇异性. 类似于Berman问题，若要从解的存在性、非唯一性以及外力的影响几个角度开展研究，由于新的参数壁面的膨胀系数的影响，导致在解的存在性的证明及数值计算方面会有新的困难..本课题讨论了以下问题：(i) 提出解析和数值的方法分别消除计算中的奇异性问题. 首先建立涨缩渗透的圆形或者矩形管道内流体流动的控制方程，通过合适的变换，得到对应的常微分方程. 对于这两种方程，都存在奇异现象，矩形、圆形的管道对应的问题在大的喷注的情况下，其渐近解的三阶导数和数值解出现了不吻合的现象，而对于圆形管道的问题是其方程本身就存在奇异性，再转化为常微分方程组的计算时，一阶方程组中会出现奇异性，而且边界条件中的极限条件需要额外处理.针对于这两类问题，应用Lighthill方法和Bvp4c对方程进行变形处理分别从解析和数值的角度消除了其奇异性.(ii) 为了模拟含有红细胞、血小板等微粒子的血液流在管道内的流动，把这一特殊的边界应用于非牛顿微极性流体，建立起微极性非牛顿流体在涨缩渗透的管道内的传热传质模型. 相对于牛顿流体而言，微极性流体耦合了微旋转的速度方程，使得这一问题与其背景模型更加吻合. (iii) 这类问题中的一个典型问题是多解，然而由于增加了新的参数壁面的膨胀系数或者微极性参数等，使得对该问题的计算和理论分析更加复杂. Majdalani等人也曾提出涨缩渗透的矩形管道内的牛顿流体的流动，也许会存在多解但是没有对该问题作进一步的研究. 本课题以数值解作为切入点，计算了圆形涨缩渗透管道流体流动的模型的多解问题，发现由于壁面的膨胀系数的影响，方程存在一个新的类型的解，而且无解区间会随着膨胀系数的改变而改变，并且分析了膨胀系数影响下其解的分叉现象. 对于涨缩渗透的矩形管道内微极性流体的流动，与原来的Berman问题（矩形渗透管道牛顿流体）相比，其解有了新的特点，一是产生了三种新的类型的解，二是产生了无解区间，而这一特点恰好与圆形的渗透管道（壁面静止）内流动的特点有共同之处.