弹性力学中多维第一类奇异边界积分方程高效数值算法研究

The first kind of Multi-dimensional boundary integral equation with singularity widely exists in scientific and engineering problems. Solving this kind of equation is one of the hot issues in current scientific computing. However, applying Projection Methods to multi-dimensional singular integral equations is subjected to the multi-dimensional singularities，and on the other hand Fredholm alternative theorem is not satisfied for it. So there are not abundant relevant literatures and research results at present. This project intends to establish a high accuracy numerical algorithm for the first kind of singular boundary integral equations in the framework of Sobolev space by Spectral analysis, Pseudo-differential operator theory, Asymptotic Compact theory, Perturbation theory and other mathematical tools. It is expected to avoid the high computational complexity and the multidimensional singular effect. By Splitting Extrapolation algorithm the accuracy of the numerical solution will be greatly improved and the error posterior estimation will be obtained. The quadrature algorithm of high accuracy will be applied to the numerical computationally of elastic mechanics, and to offer effective algorithm for science and engineering computational, which is of higher accuracy, faster convergence and less calculation complexities. The results of this project will enrich the theory and computational methods of numerical solution for Integral equations and provide theoretical support for applying this method in the engineering field.

多维第一类奇异边界积分方程在科学与工程问题的研究领域中广泛存在，如何数值求解这类方程是当今科学计算的研究热点之一，然而使用投影法将受到多维奇异性效应制约，且这类方程不满足Fredholm二择一定理，有关文献和研究成果至今不多。本项目拟在Sobolev空间中利用谱分析、拟微分算子，渐近紧及摄动理论等数学工具建立解多维第一类带奇性边界积分方程的高精度数值算法，该算法可避免多维奇异效应和高计算复杂度。利用分裂外推算法可使数值解精度进一步提高和拥有误差后验估计。最后将这种高精度求积算法应用到弹性力学相关问题数值计算中，力争为科学与工程计算提供精度高、收敛快、计算复杂度低的有效方法。本项目的实施将丰富积分方程数值解的理论与方法，也为这种解法在工程界应用提供理论支撑。

多维第一类奇异边界积分方程在科学与工程问题的研究领域中广泛存在，如何数值求解这类方程是当今科学计算的研究热点之一，本项目以弹性力学问题为背景，以高精度数值求解多维第一类奇异边界积分方程为目标，采用理论分析、算法设计与数值实验相结合的方法，旨在进行算法创新，构造高效的求积算法。本项目按计划顺利进行，项目组成员目前已发表标注该课题基金资助学术论文8篇，出版学术专著1部。主要成果概述如下：（1）首先利用课题组前期已推导的多维奇异积分的求积公式算出第一类奇异边界积分方程组离散矩阵的每个元素，由于无需计算任何积分，从而节省大量计算成本；进而推导了离散矩阵特征值的具体表达式，估计了它的下界，为建立求积法理论做好铺垫。（2）利用谱分析、离散矩阵特征值的下界、对数容度、渐近紧理论及摄动理论对离散方程组解的适定性进行了理论分析，进而建立了多维第一类奇异边界积分方程的高精度求积法。（3）利用三角周期变换消除了解在角点的奇性，同时利用各个方向的网参数均相互独立，推导出了相应的带多参数的误差渐近展开式，结合并行计算技术建立了适合多维第一类奇异边界积分方程的分裂外推算法。（4）研究了进一步提高数值解精度以及一些具体的物理应用。这些结论和研究方法在一定程度上可以丰富多维第一类边界积分方程数值解理论，同时也为我们后面的研究奠定了基础。