对偶Minkowski问题及若干非线性偏微分方程的研究

Minkowski problem is an important problem that is related to geometric measures in convex geometric analysis. In general, the solution of a Minkowski problem amounts to solving a degenerate fully nonlinear partial differential equation. The characterizations of different geometric measures correspond to different Minkowski problems. In 2016, Y. Huang, E. Lutwak, D. Yang and G. Zhang introduced a new geometric measure of convex body in Acta Math., namely dual curvature measure. In recent years, the research of dual curvature measure, dual Minkowski problem and nonlinear partial differential equation has been paid great attention and developed rapidly in the field of geometric analysis. During this project, the project applicant and the tutor plan to study the following contents: (1) dual curvature measure and related Isoperimetric Inequality; (2) dual Minkowski problem and related nonlinear partial differential equations.

Minkowski问题是凸几何分析中与几何测度相关的著名问题。一般来说，Minkowski问题的解决在某种意义上对应于非退化完全非线性的偏微分方程的解。对不同几何测度的刻画对应不同的Minkowski问题。2016年，Y.Huang, E.Lutwak, D.Yang 和G.Zhang在Acta Math.上的工作引入了凸体的新几何测度，即对偶曲率测度。近几年，对偶曲率测度与对偶Minkowski问题及相关的非线性偏微分方程的研究在几何分析领域引起了广泛的研究和关注，并得到了快速发展。在本项目执行期间，项目申请者将与合作导师计划研究以下内容：（1）对偶曲率测度及相关等周不等式；（2）对偶Minkowski问题及相关非线性偏微分方程。

Minkowski问题是几何与偏微分方程理论中的著名问题。Chord Minkowski问题是凸几何分析中经典的Minkowski问题的重要组成部分。一般来说，Minkowski问题的解决在某种意义上对应于Monge-Ampère型方程的解。本项目在研期间，一方面利用Monge-Ampère型方程和Hessian方程的Dirichlet边值问题和Neumann边值问题的研究方法，对p-Laplace算子的k阶Hessian方程进行了研究，得到了此类方程解的一阶导函数估计；另一方面，对Lp Chord Minkowski问题进行了研究，并完全解决了0<p<1和部分解决了p=0的情形。