薄液膜动力学行为的数值模拟方法及其应用

Macroscopic thin liquid films are entities that are important in biophysics, physics, and engineering, as well as in natural setting. The science of thin liquid films has developed rapidly in recent years, with applications to coating flows, biofluid, microfluidic engineering, and medicine. For such a multi-phase flow problem, a typical complication associated with thin film flows is the fact that the free surface of the liquid is initially unknown and must be determined as part of the solution. One means of treating the complexity is the so called lubrication-theory approach. In such free-surface problems the governing system can often be reduced to equations for the evolution of the liquid-gas interface. Considering the moving contact line and thin liquid films with soft matters, we're going to derive a good approximation model using Onsager principle. Our models are given by nonlinear partial differential equations, whose analysis and numerical computation present a rich variety of challenging problems. Corresponding adaptive numerical method will also be pursued.

薄液膜广泛地存在于我们的日常生活和自然界中，因其在镀层流动、生物流体、微流工程以及医药等领域中的重要应用，近年来研究发展突飞猛进。从经典流体力学理论的角度来看，薄液膜问题是一个多相流问题，主要困难在于如何确定和追踪不同物质间的自由界面。而利用基于渐近展开的润滑理论方法，薄液膜的自由界面问题常常可以简化为界面本身随时间的演化方程。虽然润滑理论在薄液膜领域的发展史上一直占主导地位并取得了令人瞩目的成就，也仍然存在一些函待改进的地方，比如移动接触线的处理困难，复杂流体薄液膜的研究相对较少等等。本项目打算另辟蹊径，拟采用Onsager变分方法等数学工具推导薄液膜动力学控制方程，并通过合适的特征慢变量的选取获得便于计算的简化近似模型，在此基础上发展高效的自适应快速算法，模拟复杂的薄液膜动力学行为。

Onsager 提出的变分原理已成为许多非平衡系统动力学方程的基础。本项目利用Onsager变分原理提出了一种新的变分方法来研究薄液膜的动力学，从而推导出了一个简化的 ODE 系统，用于模拟薄液膜的演化，大大简化了数值模拟的难度。通过几个案例的分析，我们已经证明，这个原理对于获得动力学方程的近似解很有用，但是严格来说，这种近似方法只在很小的增量时间内是合理的。随后，我们提出了一种改进的方法，可以允许我们通过变分法确定非平衡系统中的稳态。按照项目规划，我们将这一理论应用于一些具体的薄液膜情形，例如我们提出了一种干燥表面活性剂溶液液滴的理论，讨论表面活性剂对液膜动力学性质以及最终稳态的影响。在Hele-Shaw cell气泡问题的研究中，我们试图通过特殊边界条件的建模来近似某些三维模型的动力学行为，达到用二维模型近似模拟本质三维的薄液膜动力学行为的目的。这些尝试为模型约化提供了很多有益的新思路。同时，通过详尽的渐近分析和数值模拟，我们研究了参数的选取对边界条件的影响，并推导出不同边界参数设置对应的锐利界面极限。对于数值方法的参数选取提供了可靠的理论依据，也说明了不同参数不同尺度下锐利界面极限的不同收敛速度。关于数值模拟的实现方法，我们探讨了几种稳定化方法的改进，通过局部优化问题的精确求解，新算法在每次迭代中不包含任何参数，并且表现出比经典优化算法更好的性能，数值测试也证明这些新算法的有效性和实用性。