马氏调制环境下具有投资收益的 Levy 风险过程破产问题研究

近几年，具有独立平稳增量的Levy过程及具有马氏调制环境的风险模型受到了保险数学领域专家的广泛关注。而带投资收益风险模型的破产理论一直是现代风险理论中最重要的研究课题之一.本项目拟利用随机过程、随机分析理论充分研究马氏调制环境下且具有投资收益的风险模型在金融风险中的应用。我们主要通过尺度函数，局部时（local time），矩阵分析等理论解决上述模型的破产问题，如破产概率，赤字分布等以及带交易费用最优分红问题。该项目研究的问题都是金融和风险理论中最新的课题，也是Levy 过程击中时问题研究的进一步深入。

本项目研究了三类数学模型：一类是索赔到达过程为马氏过程的风险模型；第二类为具有两类索赔的风险模型；第三类为具有双边跳的Levy风险模型。我们研究了它们的破产理论及分红问题。这三类风险模型都是现代风险理论中重要的基本盈余过程，其破产及分红问题的研究也是现代风险理论的重要的研究课题之一。在本项目中，我们在索赔到达过程为马氏过程的风险模型上增加了税收策略和分红策略，借助于矩阵的知识研究了此模型的首中时以及广义Gerber–Shiu 函数。对于具有两类索赔的风险模型，我们引入广义矩阵 Dickson–Hipp 算子，研究了此算子的性质， 并利用此算子给出了模型的Gerber–Shiu 函数所满足的矩阵型Volterra 积分方程，进而讨论了此积分方程的解。除此之外我们还利用逼近的方法研究了具有双边跳的Levy风险的的分红问题。本项目所考虑的数学模型及其相关破产理论具有重要的理论意义和潜在的应用价值，能为保险公司对其业务进行风险评估和科学决策等提供理论参考依据。