有限分歧分形集合上的拉普拉斯算子

We will study properties of the Laplacian, harmonic functions, and Dirichlet forms on general finitely ramified self-similar sets. The main contents are as follows:(1)p-harmonic functios, p-energies, and p-Laplacian;(2)the Laplacian on nonsymmetric finitely ramified fractals via the mothod of averages;(3)differential equations on product of finitely ramified self-similar sets with Dirichlet(or Neumann) boundary conditions;(4)harmonic mappings from finitely ramified fractals to the circle.

本项目将研究有限分歧分形集合上的拉普拉斯算子与对应的调和函数，狄利克雷形式的性质。具体内容包括：（1）研究如何在一般有限分歧自相似集上定义p-调和函数，p-能量和p-拉普拉斯算子，以及p-能量的存在惟一性问题；（2）引入独立集概念与调和延拓方法，用平均值方法定义非对称有限分歧自相似分形集合上的拉普拉斯算子，调和函数及狄利克雷形式并研究其性质；（3）研究在有限分歧分形乘积集合上建立带有狄利克雷（或钮曼）边界条件的微分方程并求解；（4）研究从有限分歧分歧分形集合到圆上的调和映射，给出调和映射存在的充分必要条件。.我们希望通过本项目的研究，对分形上拉普拉斯算子以及对应的调和函数，狄利克雷形式的性质有更加深入的刻画，并对乘积分形上定义的狄利克雷形式进行初步的探索。进一步，对分形偏微分方程理论从不同的侧面有更为深入的了解，为分形偏微分方程找到新的研究途径和方法。

分形分析理论的一个核心问题就是如何在分形集合上定义拉普拉斯算子。如果有了拉普拉斯算子，我们可以得到对应的调和函数以及狄利克雷形式，还可以在分形集合上定义微分方程并求解。. 本项目研究工作的主要内容包括：. (1) p-拉普拉斯算子；(2)p=2时，有限分歧分形集合上调和函数的能量测度与赫尔德估计；(3)水平三分谢宾斯基垫片上的非常数调和函数与尺度因子；(4)分数维布朗运动。. 本项目取得了以下重要结果：. (1)证明了一类含p-拉普拉斯算子的拟线性偏微分的非负解的强惟一延拓性质，研究了含Laplace算子的二阶椭圆偏微分方程的强惟一延拓性质；. (2)当p=2时，给出了有限分歧自相似分形集合上调和函数的能量测度的线性延拓公式，作为应用，还计算了某些分形集合上能量测度的二维勒贝格维数；. (3)给出了有限分歧自相似分形集合上调和函数的赫尔德估计，并证明了拉普拉斯算子定义域内的函数也具有相类似的性质；. (4)基于分数维布朗运动的混沌表示与白噪声分析，我们主要研究了次分数维布朗运动的自相交局部时间以及与双分数维布朗运动相关的一个积分泛函的p-变分，推广了经典布朗运动的相关结果。. (5)正式发表标注本项目资助的论文7篇，其中3篇为SCI收录，2篇核心期刊，2篇国际英文期刊。. (6)项目主持人唐东磊博士副教授被列为2012年度江苏省青蓝工程中青年学术带头人培养人选，2015年度入选南京审计学院“润泽学者”。. (7)论文《Energy measures on p.c.f. self-similar sets》获得了2015年度南京市第十一届自然科学优秀学术论文优秀奖。. 通过本项目的研究，我们对有限分歧分形集合上的拉普拉斯算子，调和函数，狄利克雷形式以及调和函数的能量测度有了进一步的了解和更加深入的刻画。