Lax可积系统的非局域对称及李代数分类

The symmetry method is one of the most effective and important method in nonlinear science. The point symmetry and general symmetry are familiar to people, while it is much difficult to find and apply nonlocal symmetry of nonlinear system. For the nonlinear system possessing Lax pair, this project will reveal the infinitesimal symmetries related to elementary Darboux transformation in matrix form and binary Darboux transformation, respectively. By means of these nonlocal symmetries, infinitely many nonlocal conservation laws and invariant solutions can be constructed. The interactions between n-solitary waves and other nonlinear waves (including periodic wave, rogue wave and so on) may provide an important reference for the interpretation of some actual physical phenomena (such as the tsunami, etc.). In addition, we will propose a systematic algorithm keeping optimality for the classification of Lie algebra. The procedure itself contains non-equivalence of the optimal system , without no further proof of the optimality.

对称方法是研究非线性科学的最有效和最重要的方法之一，其中从点对称到一般对称是被大家所熟知的，而对于非局域对称，无论是其获得还是应用，长久以来就是一个难题。本项目将针对具有Lax可积性的非线性系统，揭示其矩阵形式的初等达布变换和二元达布变换对应的无穷小对称，进一步由所得非局域对称给出相对应的（无穷多）非局域守恒律，并进行非局域对称的约化求解，揭示多孤立波和其他非线性波（周期波、怪波等）之间的相互作用, 从而为解释某些实际物理现象（比如灾害性气候海啸等）提供重要参考。另外，我们将对Lie代数分类问题提出一种系统的保最优性的算法，其操作过程本身就蕴含着最优系统的不等价性，最优性不需要另外证明。

对称方法是研究非线性科学的最有效和最重要的方法之一，非局域对称作为对称的重要组成部分，可利用其获得大量非线性数学物理方程的精确解。本项目揭示了不同形式的贝克隆变换对应的非局域对称，阐明了对称的本质，并且，扩展了非线性系统可积性的概念，研究了相容的Riccati展开（CRE）可积性及相容的tanh函数展开可积性：通过将初始的非线性系统扩大，达到了将非局域对称转化为李点对称的目的，进一步通过对称约化方法或者扩展的Riccati展开方法，获得了丰富的孤立波和其他非线性波之间的相互作用解,从而为解释某些实际物理现象（比如灾害性气候海啸等）提供了重要参考。另外，我们对于有限维Lie代数的一维最优系统和二维最优系统的的构造，提出了一种直接和保最优性的算法，其操作过程本身就蕴含着最优系统的不等价性，最优性不需要另外证明，进一步可利用计算机软件实现其机械化。