常循环码及其应用研究

Self-dual codes and constacyclic codes are important classes of linear codes. Galois self-dual codes and Galois self-dual MDS codes constitute new research issues. The objective of this project is to study Galois self-dual constacyclic codes, and the application of constacyclic codes in design theory and coding theory. Using tools from combinatorics and finite group theory, we study the following three problems: the characterizations and constructions of Galois self-dual constacyclic codes over finite commutative chain rings; the constructions of Galois self-dual MDS codes; applying constacyclic codes in design theory and coding theory, including the constructions of difference families and optimal frequency-hopping sequence sets.

自对偶码和常循环码都是重要的线性码。Galois自对偶码和Galois自对偶的MDS码是新的更广泛的研究对象。本项目将研究Galois自对偶的常循环码，并研究常循环码在组合设计及编码理论中的应用。利用有限群理论和组合方法，本项目研究以下三个问题：有限交换链环上Galois自对偶常循环码的刻画及构造；Galois自对偶的最大距离可分(MDS)码的构造和分析；常循环码在组合设计及编码理论中的应用，包括差族的构造和最优跳频序列集的设计和分析。

本项目研究了三个问题，分别是最优symbol-pair码的距离下界和构造，常维数循环码的构造以及LCD-MDS码的构造。..关于最优Symbol-pair码的构造，Chee等获得了Symbol-pair码的Singleton界并给出了达到界的Symbol-pair码的构造。Zhu和Kai给出了由几乎MDS码构造MDS的Symbol-pair码的方法。Zhu和Kai主要得到了码长超过有限域的个数，但Symbol-pair距离达到5和6的最优码。通过分析他们的构造方法，我们利用重根的循环码来构造MDS的Symbol-pair码。为此，我们先发展了Cassuto和Blaum中得到的一些关于循环码的Symbol-pair距离的下界。根据这个下界，我们获得了极小Symbol-pair距离达到7和8的最优Symbol-pair码。关于常维数循环码的构造，我们关于常维数循环码的构造方式去除了Ben-Sasson以及Otal的文献中的一些限制；因此，我们能更自由地构造出常维数循环码。另一方面，我们在一些码的基础上并入了一些新的轨道，因而得到了码字个数更多的码。关于LCD-MDS码的构造，我们给出了关于LCD-MDS码的一些新的构造，所得结论推广了金铃飞教授的相关结果。.. 上述主要结果发表在IEEE Transactions on Information Theory 和Designs, Codes and Cryptography上。还有一篇论文已投到Finite Fields and Their Applications，目前正在评审。