椭圆方程组中的向量分析

The inequalities involving the operators div and curl are widely used in the mathematical theory of electro-magnetic field. This project at first establishes several Hardy-type inequalities for vector fields with the given suitable boundary conditions in three-dimensional bounded domains. These inequalities are quite different between in L^1 space and in L^p space, between the case of vector fields and of scalar functions. Then we will apply the Hardy-type inequalities for vector fields in L^1 space to establish the interior estimates with weight and the boundary estimates for the solutions of some class of elliptic systems. At last, this project will consider the best constant and the missing terms problem for the Hardy-type inequalities, which are the study on the eigenvalue problem of the singular quasilinear elliptic systems with the operator curl.. The study on this project has an important role to perfect the Hardy-type inequalities being connection with the operators div and curl in L^1 space, to provide the theoretical basis for the local estimates and the boundary estimates for the solutions of the systems associating with the vectors, but also to enrich the theory of the singular quasilinear elliptic systems involving the operator curl. The research on this project has the important significance to characterize the different properties between the single elliptic equation and the elliptic system.

带有散度算子和旋度算子的不等式在电磁场的数学理论中有广泛的应用。本项目首先在三维有界区域对给定合适边界条件的向量场建立若干类 Hardy 型不等式。这些不等式在 L^1 空间和一般 L^p 空间、向量场情形和标量函数情形都会有很大的不同。随后我们将应用 L^1 空间上向量场的 Hardy 型不等式建立某一类椭圆方程组解的带权重的内部估计和边界估计。最后本项目将考察向量场 Hardy 型不等式成立时的最佳常数和余项问题，这是对带有旋度算子的奇异拟线性椭圆方程组的特征值问题的研究。. 本项目的研究对完善 L^1 空间上、与向量场散度和旋度算子相关的 Hardy 型不等式理论有重要作用，为若干与向量场相关的方程组建立解的局部估计和边界估计提供理论基础，而且也丰富带有旋度算子的奇异拟线性椭圆方程组的理论。本项目的研究对刻画单个椭圆方程和椭圆方程组解的不同性质有重要意义。

(1)本项目考虑了与向量场散度算子和旋度算子相关的Hardy不等式。我们证明：对于在边界上的切向分量为0的向量场 的L1范数可被其散度的某个带权L1范数和旋度的L1范数所控制。我们也建立了相应的Hardy不等式的Lp估计。(2)向量场在Lorentz空间L(3/2,1) 上的估计。我们证明：对于在边界上切向分量或法向分量为0的向量场，它的Lorentz空间L(3/2,1) 范数可被其散度和旋度在有界区域上的Hardy空间的范数所控制。(3) 我们考虑了某个带有旋度算子的偏微分方程组，它来源于第II类超导体Meissner态和涡旋态的数学理论：当Ginzburg-Landau参数趋于无穷大时，Ginzburg-Landau模型的一个极限形式。我们证明解的最大值点由所给边界的切向分量的最大值点以及给定区域边界的法曲率所确定；当区域是凸的时候，我们得到了解的最大模估计；当区域是外区域的时候，我们证明了解的存在性并证明了解的指数衰减性。. 本项目的研究对完善 L^1 空间上、与向量场散度和旋度算子相关的 Hardy 型不等式理论有重要作用，本项目的研究对刻画单个椭圆方程和椭圆方程组解的不同性质有重要意义。