带跳随机时滞微分方程解的高效快速算法设计及其在美式未定权益定价中的应用

In the area of finance and insurance, many stochastic problems are affected by time-delay and significant events. Thus, the study of stochastic delay differential equations with jumps is very important to capture the essence of these problems. Since they hardly admit analytical solutions, it is critical to develop efficient discrete-time approximation methods and study their numerical properties of convergence and stability. Based on the exisiting theory of numerical solutions of stochastic differential equation, this project aims to design a new efficient and fast simulation algorithm for the stochastic delay differential equation driven by Levy process and then study its convergence rate and mean-square stability. Moreover, in the financial market with time lag and jumps, the price of the American contingent claims will be derived from the numerical weak solutions of stochastic delay differential equation driven by Levy process.

在金融保险领域，很多随机问题需要考虑时间延迟(时滞)和重大事件(跳现象)的影响。因此，对带跳随机延迟微分方程的研究将有助于对金融保险现象进行更精确的描述。由于这类方程的解析解很难得到，所以设计有效的数值逼近方法并分析其数值解的收敛性和稳定性具有重要的理论意义和实际应用价值。本项目基于一般随机微分方程弱解的数值算法理论，拟针对levy过程驱动下的随机时滞微分方程，设计高效快速算法对其弱解进行数值逼近，并证明这种新算法的收敛阶和均方稳定性。然后，在带跳且具时滞的金融市场条件下，通过levy过程驱动下的随机时滞微分方程的数值弱解给出美式未定权益的合理定价。

在项目资助下，我们研究了金融保险中不完全市场下美式期权定价问题, 主要是考虑标的资产具有随机波动率的Lévy过程，利用均衡定价方法将美式期权定价转化为偏微分方程问题来求解。我们又研究了金融随机模型的参数校准问题，主要是设计带粒子群优化的隐式数值算法并对利率结构模型进行参数校准，通过数值实验证明了新算法的准确性和稳定性。我们还研究了基于分数阶随机微分方程的最优套期保值比率的估计问题，得到最优动态套期保值比率，并实证检验了从样本内测试和样本外测试对冲模型的有效性。.另外，我们还研究了实物期权定价和最优投资问题，考虑决策人有限理性对目标公司估值的影响，构建基于前景理论的服从跳扩散过程的实物期权行为定价模型，并用最小二乘蒙特卡洛方法对模型进行模拟计算得到合理的目标公司的估值。我们还研究了同时带跳扩散和随机波动率的美式期权定价问题，通过马尔科夫链方法给出模型的数值解，并对高新技术企业专利权的实物期权定价进行实证模拟，得出若加入跳扩散项和随机波动率到实物期权定价模型中可以避免期权价值被高估。.总之，本项目不仅帮助我们如期完成了研究计划，还带动了其他研究课题。