鞅的Cramer型大偏差展式及其应用

This project is to investigate Cramer type large deviation expansions for martingales and their applications. Large deviation expansions for martingales is a generalization of the classical Cramer large deviations for sums of independent random variables. It solves a major problem that is to give related errors between the tail probabilities of martingales and the tail probabilities of the normal random variables. Due to its accuracy, Cramer large deviations have many applications for self-normalized deviations, actuarial science, parameter estimations and t-statistics. .The research content of this project includes the following four aspects. First, establishes Cramer type large deviations for martingales with differences bounded from above，and then applies to the study of large deviations for self-normalized martingales. Second, establishes non-uniform Berry-Esseen bound for martingales. Third, establishes Cramer type large deviations for the maximum of martingales. Finally, apply our results to the parameter estimations and t-statistics. This project is the extension and refinement of applicant's previous work.

本项目拟研究鞅的Cramer型大偏差展式及其应用。鞅的大偏差展式是独立随机变量之和的Cramer大偏差的推广。它解决的一个核心问题是给出了鞅的尾项概率与正态分布尾项概率的相对误差。由于它具有精确性高的特点，Cramer大偏差在自正则化大偏差理论，参数估计，t-统计等诸多领域有很好的应用背景。.本项目研究的内容包含以下四个方面。第一，在鞅差单边有界的条件下建立起Cramer型大偏差，并将其应用于自正则化鞅的大偏差研究。第二，建立鞅的非一致的Berry-Esseen估计。第三， 建立带有最大值鞅的Cramer型大偏差。 最后，把所得到结果应用于参数估计和t-统计。本项目是申请人先前工作的推广和提升。

本项目主要研究鞅的Cramer型大偏差展式及其应用。鞅的Cramer型大偏差展式是独立随机变量之和的Cramer大偏差的推广。它要解决的一个核心数学问题是在多大的一个范围内正态逼近的相对误差一致地趋于零。研究的内容包括以下四个方面: 第一方面，在鞅差单边有界的条件下建立起了标准化鞅的Cramer型大偏差，并将其应用于自正则化鞅的大偏差研究。第二方面，建立鞅的非一致的Berry-Esseen估计，也即正态逼近的绝对误差的估计。主要是在条件数学期望下的最佳Berry-Esseen估计问题。第三方面，建立带有最大值鞅的大偏差不等式。最后，把所得到结果应用于统计推断中的参数估计和t-统计。. 通过本项目的研究，我们得到了鞅差单边有界的条件下标准化鞅的Cramer型大偏差。利用所得到的结果，我们建立了有界稳定随机变量的Cramer型中偏差。不仅如此，我们还得到了自正则化鞅的Cramer型中偏差。在带条件数学期望的Bernstein条件下，我们得到了鞅的非一致的Berry-Esseen估计。同时，我们还在有限阶条件矩的假设下得到了标准化鞅的最佳Berry-Esseen估计。在各种不同的矩条件下，我们得到了最大值鞅的最佳偏差不等式。最后，在论文的应用部分，我们将所得到的结果应用于线性回归和自回归的参数估计、t-假设检验、无偏估计量的相合性和Nadaraya–Watson核估计等。