模糊微积分的性质及模糊微分方程的解

Classical differential equations theory can be used to deal with deterministic problems, and stochastic differential equations theory can describe problems with objective uncertainty, in order to depict problems with subjective uncertainty, fuzzy differential equations theory is introduced. Up to date, based on probability theory, stochastic differential equations theory have had perfect mathematical system and have been widely used in real life. As far as fuzzy differential equations theory, though many researchers have studied fuzzy process, it is still lack of a whole system, especially for fuzzy differential equations drived by Liu process.. Considering above reasons, this item is to investigate the properties of a new type of fuzzy calculus and fuzzy differential equations theory drived by Liu process. In which, discuss the properties of fuzzy calculus is premise, then may derive the existence, uniqueness the numerical solutions of fuzzy differential equations, moreover offer practicer the academic help..(1) united classical mathematical methods with fuzzy process, give the properties of this new type of fuzzy calculus and the existence conditions of fuzzy integral; .(2) obtain the existence and uniqueness theorems of this type fuzzy differential equations, and calculate the exact solution of some fuzzy differential equations; .(3) Sum up this type fuzzy differential equations theory and propose numerical solution of this type fuzzy differential equations.

现实中确定性的问题可以利用经典微分方程处理，随机微分方程处理带有客观不确定性的问题，对于实际中具有人为不确定性的现象，就需要引入模糊微分方程理论来处理。迄今为止，建立在概率论基础上的随机微分方程理论已发展的比较完善，并且广泛应用于生产和生活的各个领域。至今对模糊过程的研究虽然较多，但缺乏完整的理论，尤其是由Liu过程驱动的模糊微分方程理论，更是处在起步阶段。.基于以上因素，本项目主要利用可信性理论，讨论一类新的模糊积分（Liu积分）的性质及由Liu过程驱动的模糊微分方程理论。研究模糊微积分的性质是前提，进而才能讨论模糊微分方程解的存在唯一性以及数值解法，为实际工作者提供理论帮助。.（1）结合经典数学的研究方法与模糊过程的特点，给出此类新的模糊微积分的性质和积分存在的条件；.（2）得到此类模糊微分方程解的存在唯一性条件，求出一些模糊微分方程的显示形式的解；.（3）给出模糊微分方程的数值解。

现实中确定性的问题可以利用经典微分方程处理，随机微分方程处理带有客观不确定性的问题，对于实际中具有人为不确定性的现象，就需要引入模糊微分方程理论来处理。迄今为止，建立在概率论基础上的随机微分方程理论已发展的比较完善，并且广泛应用于生产和生活的各个领域。至今对模糊过程的研究虽然较多，但缺乏完整的理论，而且根据不同的模糊测度可以定义不同的模糊微分方程，这些模糊微分方程不能像随机微分方程一样形成一套完整的体系。由Liu过程驱动的模糊微分方程正是随机微分方程的对应物，对此类模糊微分方程的研究更是处在起步阶段，有待进一步发展和完善。. 基于以上因素，本项目主要利用可信性理论，讨论一类新的模糊积分（Liu积分）的性质及由Liu过程驱动的模糊微分方程理论。研究模糊微积分的性质是前提，进而才能讨论模糊微分方程解的存在唯一性以及数值解法，为实际工作者提供理论帮助。本项目的主要结果如下：.1．收敛性方面：定义了均方收敛性，给出了模糊序列的几种收敛性的关系。由于模糊积分都是定义在一定意义的模糊序列的收敛性基础上的，此项工作为模糊微分方程理论的研究奠定了基础。.2．模糊过程方面：讨论了几类特殊Liu过程的隶属函数和首达时，给出了一般Liu过程的反射原理和首达时隶属函数；讨论了复模糊过程的性质，推导出复模糊过程独立性的判别方法；定义了多维Liu过程并推导出相关性质。这些结论丰富和完善了模糊过程理论。.3．模糊微积分方面：得出Liu积分存在的充分条件即两个单调有界的模糊过程之积必然是Liu可积的，给出了积分中值定理、微分中值定理；并把Liu积分和Liu微分推广到多维和复的情形，推导出相关性质以及积分存在的条件；最后给出了两类广义的模糊积分即无穷Liu积分和无界Liu积分的定义和性质。这部分工作为模糊微积分的计算以及模糊微分方程的应用奠定了理论基础。.4．模糊微分方程方面：求出了特殊模糊微分方程包括线性模糊微分方程，广义线性模糊微分方程，可约模糊微分方程等的解析解，得出齐次模糊微分方程解的三个存在唯一性定理; 给出求解模糊微分方程的一种数值解法即模糊Euler方法。. 这些结论为实际工作者提供了理论结果和应用条件，初步建立了系统的模糊微分方程理论。