不连续拟线性薛定谔微分方程解的存在性研究

The rigth-hand side discontinuous quasilinear Schrodinger differential equation is an important kind of differential equation in physics and it plays an important role in superfluid film equation in plasma physics and so on. In this project, we will regularized the discontinuous biharmonic differential equations on the right side by using the Filippov regularization method, and study some basic properties and applications of the solutions of the discontinuous quasilinear Schrodinger differential equations on the right side. The main contents include:(i)the existence, boundedness, multiplicity, asymptotic property, sign changing property, and nonsmooth morse theorem and so on;(ii)restoring compactness property and the existence theorem of PS- condition of quasilinear Schrodinger differential equations on unbounded domains, the existence of ground state solution or least energy solution et al. . The main methods of this research are the comprehensive utilization of differential inclusion theory, set-valued analysis, fixed point theorem, nonsmooth analysis techniques, nonsmooth critical point theorem, Morse theorem, Pohozaev manifold and other modern mathematical tools. Furthermore, we will extend some theories on the existence of solutions of differential inclusions, and use these methods to consider actual situation to correct the discontinuous Schrodinger differential inclusion model. These results can provide theoretical basis, method guidance for analyzing and solving the background of practical problems of Schrodinger differential equations.

右端不连续拟线性薛定谔微分方程是物理学中的一类重要的微分方程，在等膜离子体等方面有着十分重要的应用。本项目将利用Filippov正规化方法将右端不连续拟线性薛定谔微分方程正则化，研究右端不连续拟线性薛定谔微分方程解的一些基本性质及应用。主要研究内容有：(i)右端不连续拟线性薛定谔微分方程解的存在性、有界性、多重性、渐近性、变号性,，非光滑情形的Morse定理等;(ii)无界域上拟线性薛定谔微分方程紧性存在定理，PS-条件存在定理，基态解或最小能量解的存在性定理等。主要研究方法为综合利用微分包含理论、集值分析、不动点定理、非光滑分析理论、非光滑临界点定理、Morse定理、波霍扎耶夫微分流形等现代数学工具，同时扩展一些微分包含解的存在性方法，并将这些方法结合实际情况对右端不连续拟线性薛定谔微分包含模型进行修正，为分析和解决具有薛定谔微分方程背景的实际问题提供理论依据和方法指导。

本项目自立项以来，对不连续拟线性薛定谔微分方程解的存在性问题进行了研究。本项目获得了一系列显著的研究成果，且绝大部分成果都发表在国际知名SCI源刊杂志上。这些研究成果为整个项目的顺利完成打下了良好的基础，也达到了本项目所制定的预期目标。本项目的主要研究成果归结如下：.(i)对泛函微分包含解的存在性与多重性解的存在性进行了研究，将部分经典临界点理论推广至不连续情形；(ii)利用对偶方法将不连续问题连续化，为利用经典的临界点理论作铺垫；(iii)利用扩展的不连续理论及现有非光滑临界点理论，通过引进一些新颖的工具与方法来，我们探讨了几类不连续的拟线性薛定谔微分方程解的性态，其中包括临界情形、次临界情形、超线性形式、次线性形式证明了解的存在性、多重性、变号性及渐近性等，为解决实际问题提供理论指导。