非定常N-S方程的稳定化有限元方法

To seek time-dependent N-S equations' numerical solutions, using the efficient and concise conforming and nonconforming low-order and equal-order elements on spatial discretization, among numerous of schemes on time discretization, using the scheme which matches the long-time stability and convergence order, in order to ensure it is simple and efficient when larger time interval problems are numerical solved. Theoretically, we will construct a new conforming and nonconforming full discretization stabilized finite element scheme, and we will prove this scheme that it is stable and has matched convergence order on both spatial and time discretization. In numerical computation, we will design numerical simulation scheme, which has long-time stability, to implement long-time numerical simulation about the behavior of N-S equations. The research of this project is contributed to the development of nonlinear science and the application of calculating fluid mechanics in engineering technology. Some results achieve the international leading level.

对于求解非定常N-S方程的数值解，其中空间离散用高效简洁的协调与非协调低次和等阶稳定化有限元，时间离散考虑在众多的格式中选择与其配套的长时间稳定和收敛阶匹配的格式，以保证格式在较大时间区间进行数值求解时，格式是简单的和有效的。在理论方面，我们将构造新的协调与非协调全离散稳定化有限元格式，能适用高雷诺数情形的数值离散方法，分析格式在空间离散和时间离散方面是稳定的和具有匹配的收敛阶数。在数值计算方面，我们将设计数值模拟格式，使其具有长时间的稳定性，以达到长时间数值模拟N-S方程解的有关行为。 该项目的研究有助于非线性科学研究的发展和计算流体力学在工程技术中的应用，部分成果将达到国际领先水平。

粘性不可压缩流动问题一直是工程及计算数学研究的热点问题。关于高雷诺情形下的非定常N-S方程的数值模拟方法研究是具有挑战性的课题。近十几年来，随着稳定化有限元方法思想在该方面的应用突破，为相关研究提供了一个有效的方向。本项目研究基于稳定化有限元的思想，着力建立能够适用于高雷诺数情形下非定常N-S方程的有限元逼近方法。首先对定常Stokes（N-S）方程研究了不需要满足LBB稳定条件的几种新的稳定化有限元方法，在此基础上，对求解非定常N-S方程的数值求解，空间采用高效简洁的协调与非协调低次和等阶元逼近，时间离散采用向前，向后及crank-nicolson差分格式，构造和建立了几种新的协调及非协调全离散稳定化格式，数值方法不仅能够适用于高雷诺数情形，且有长时间的稳定性。理论分析和数值实验说明了本项目研究中建立的方法理论的有效性，本项目研究取得了一系列具有国际水平结果，发表核心SCI论文14篇，相关成果具有重要的理论及应用价值。