一维分布参数系统系数与初值同时反演问题的数值算法研究

Simultaneous identification of the coefficient and initial value based on the measured output is a class of important inverse problems, which are widely used in engineering areas. Such problems are more general and challenging in practice compared with the single inversion of the coefficient or the initial value. This project mainly focuses on the analysis and design of the simultaneous identification algorithm from the point view of control theory and its application in groundwater problems. Firstly, the switch on/off control is designed in view of the superposition principle, and then the simultaneous identifiability of the coefficient and initial value can be analyzed by inverse spectral theory and nonharmonic Fourier series theory. Secondly, by virtue of estimating the part that the initial value affects and then cancelling it from the output, we can equivalently transform the simultaneous identification problem to the relatively simple coefficient identification with null initial value and a single inverse initial value problem by solving an infinite-dimensional spectral estimation problem, which is the key for the whole algorithm design. In this project, it will be treated as a finite-dimensional spectral estimation problem with disturbance, which can be solved by learning from the Matrix Pencil Method in signal processing. Finally, the error analysis of the Matrix Pencil Method based on the perturbation theory for eigenvalues and singular values of matrix is given as well, and the numerical algorithm is then applied to the design of pumping test and the estimation of hydrogeological parameters of groundwater aquifer. All the data that is required in the identification algorithm comes from the boundary control and observation, which is easy to realize in engineering. The idea of the identification algorithm in this project is applicable extensively because of its generality.

根据系统的测量输出同时确定系统参数与初值是一类重要的反问题，在工程领域有着广泛的应用。与单一的系数或初值反演相比，这类问题更具一般性和挑战性。围绕该问题，本项目主要从控制理论角度研究数值辨识算法的分析、设计及其在地下水方面的应用。首先，基于叠加原理设计开关切换控制，并借助逆谱理论、非调和傅里叶级数等理论对系数和初值的同时可辨识性进行分析。然后，设计算法估计输出中的初值影响部分并将其消掉，从而将同时反演问题等价地转化为相对简单的零初值系数反演问题和单一的初值反演问题。其中，无穷维谱估计问题的求解是整个算法的关键，拟将其作为带干扰的有限维谱估计问题并借鉴信号处理中的矩阵束方法求解。最后，根据特征值、奇异值扰动理论进行误差分析，并将算法应用于抽水试验设计以及地下含水层水文地质参数识别。本课题辨识所需数据源于工程中易于实现的边界控制、边界观测，算法设计思想具有一般性，因而有着广泛的适用性。

参数辨识在自然科学的众多领域中有着重要而广泛的应用。本项目主要是从控制论的角度针对一维分布参数系统设计系数和初值的同时反演算法，并将其应用到地下含水层参数识别问题。项目研究成果主要包括：(1) 基于边界开关切换控制，建立了一维热传导方程中的扩散系数和初值的同时可辨识性，并设计了系数和初值的同时辨识算法，给出了算法的误差分析。而且，我们设计的算法可应用于反应扩散方程等其它模型的系数、初值的同时反演。此外需要指出的是，我们的辨识所需数据仅为边界控制、边界观测，这更易于工程实现，而且对未知初值也没有过多限制条件，极大地改进了美国、日本一些学者在系数和初值联合反演方面的结果。(2) 建立了多层岛屿渗漏含水层系统地下水运动模型，并推导了模型的闭形式解析解，在此基础上研究了含水层系统的多层结构、相邻含水层之间的渗漏系数以及含水层长度对地下水水头波动潮汐效应的影响，分析了忽略影响地下水波动的一个或多个因素而可能引起的误差。该项工作表明，相比较于过去研究中简化的含水层地质结构，考虑复杂的滨海含水层结构的重要性。(3) 基于推导的解析解并结合潮汐法，研究了滨海地区含水层水力参数的反演。此外，在项目开展过程中，还对分布参数系统的抗干扰镇定控制问题进行了研究，也取得了一些有意义的研究成果：研究了一端连接刚体的非均匀弹性弦刚柔耦合系统的干扰估计及反馈镇定问题，设计了无穷维干扰估计器及龙贝格状态观测器，基于自抗扰控制技术，设计了抗干扰反馈控制器，并借助于半群理论和频域方法，证明了闭环系统的适定性和指数稳定性。