受时变对流扩散方程约束的最优控制问题的SUPG方法研究

It is well known that SUPG method is currently one of the most popular numerical methods for solving convection-diffusion equations. By reasonable choose of stabilization parameters, this project aims to apply the SUPG method to optimal control problems subject to time-dependent convection-diffusion equations, and establish a series of reliable and stable numerical algorithms. In particular, the following aspects are discussed. (1) under the stabilization parameters depend on the length of the time step, we construct a fully discrete SUPG scheme combined with the backward Euler method in time, and deduce the discrete optimality conditions. Then stability bounds and a priori error estimates are derived based on energy arguments. Finally,numerical tests are given to support the theory.(2) under the stabilization parameters depend on the length of the space step, a semi-discrete SUPG scheme and the corresponding optimality conditions are derived. An error estimate for the L^2 norm and the norm of material derivative is obtained. (3) under the above choice of stabilization parameters and the constructed fully discrete SUPG scheme in part (1), another different error estimates are given. Finally, numerical examples validate the theoretical analysis. In all, this project provides a new idea to the study of numerical methods for time-dependent convection-diffusion optimal control problems theoretically. As it can be seen that the choice of stabilization parameters and the construction of SUPG scheme for the optimal control problems are of great importance.

SUPG方法是近年来广受欢迎的用于求解对流扩散方程的数值手段之一。本项目通过合理选取稳定化参数，将SUPG方法应用到时变对流扩散最优控制问题中，并建立起一系列可靠、稳定的最优控制数值算法。具体研究内容如下：(1)通过适当选取依赖于时间步长的稳定化参数，建立向后欧拉SUPG最优控制全离散格式，推导出离散最优性条件。讨论算法的稳定性及其能量模先验误差估计，并通过数值模拟来验证理论分析的有效性。(2)在稳定化参数依赖于空间步长的情况下，建立半离散SUPG最优控制格式及其半离散最优性条件，进行L^2模及材料导数模意义下的收敛阶误差分析。(3)在稳定化参数依赖于空间步长情况下，对(1)中建立的SUPG最优控制全离散格式给出不同的先验误差估计，最后依然用数值实验进行验证。以上稳定化参数的选取及其SUPG最优控制数值算法的建立，将对时变对流扩散最优控制问题的数值方法研究提供新的思路和理论依据。

由偏微分方程所描述的最优控制模型在许多实际问题中有着广泛的应用，如大气污染治理问题、流体控制问题、油藏注水开采问题等。其数值模拟方法、理论的研究具有广泛的实用性和重要意义。当前虽然该领域的研究已有十分丰富的理论和进展，但仍然有很多问题待解决。本课题按照计划书及其中期思路调整，围绕最优控制问题的几类稳定化数值方法开展了深入研究。主要包含以下几个方面的内容：一是对流扩散最优控制问题的基于特征有限元方法的先验和后验误差分析及其计算；二是基于最小二乘、分裂思想的对称正定混合元方法的先验理论分析和计算，提出了最小二乘最优控制算法、分裂最小二乘最优控制算法、分裂正定最优控制算法等；三是提出了一类带参数的稳定化混合元方法，克服了传统混合元方法对有限元空间的限制和自由度多、高维问题计算效率低下等实际困难，并成功应用到椭圆最优控制问题、反应扩散最优控制问题、双线性最优控制问题、抛物型最优控制问题等的计算和先验误差估计，已在Journal of Scientific Computing发表论文2篇，其它论文正在Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering、 Journal of Scientific Computing、Boundary Value Problems等审稿中；四是对流扩散最优控制问题的连续内罚Galerkin方法的后验误差分析和自适应计算，给出了指导自适应计算的有效误差估计子。课题组还围绕分数阶微分方程的快速算法及其最优控制问题的计算开展了一些基础性研究工作，目前已完成论文2篇。上述方法和理论的深入研究对于受偏微分方程约束的最优控制问题的数值理论研究具有重要的推进作用。围绕这一课题，我们仍可以在状态受限最优控制问题、含有随机变量的最优控制问题、分数阶最优控制问题开展进一步的研究工作。