Biot模型基于有限元离散的多重网格算法研究

Biot model describes the consolidation processes of a porous elastic medium which is partially saturated by a certain fluid when pressed by some external forces. Biot model has a wide range of applications such as in architecture, environment and biomechanics. As a saddle point problem, the development and analysis of its discretization schemes and fast solver methods can also be useful for other saddle point problems. This project aims to develop stable finite element discretizations for Biot model and multigrid methods for the corresponding algebraic system of equations. By applying the finite element exterior calculus framework, we will develop stable finite element discretizations for Biot model and analyze their convergence property. Moreover, by studying the matrix structures, we will construct uniform convergent multigrid algorithm that independent with the mesh sizes for the algebraic system. Furthermore, we will also study the performance of the multigrid algorithms as stand-alone solvers and as preconditioners for Krylov subspace methods both numerically and theoretically.

Biot模型描述了含流体的弹性多孔介质受外力挤压时的稳固化过程。该模型在建筑，环境及生物力学等领域具有很重要的应用价值。 Biot模型作为一种鞍点问题，其离散格式和快速算法的构造和分析对其它鞍点问题也有一定的借鉴意义。本项目旨在研究Biot模型稳定的有限元离散格式及相应代数方程组的多重网格算法。通过利用有限元外微分理论框架，我们构造Biot模型稳定的有限元离散格式并分析其收敛性。同时，通过分析相应离散系统的系数矩阵结构，设计出与网格尺寸无关的一致收敛的多重网格算法。我们还将研究将多重网格算法单独作为求解器及作为Krylov子空间迭代法的预处理子的数值表现，并分析算法的收敛性。

Biot固结方程是土力学的重要课题之一。它描述了含流体的多孔弹性介质在外部荷载作用下的固结过程。该模型在建筑，环境及生物力学等领域具有非常重要且广泛的应用价值。然而，除特定简单的初边值条件下，一般很难求出Biot固结方程的解析解。因此，研究Biot固结方程的数值解具有非常重要的意义。本项目旨在研究Biot模型稳定的有限元离散格式及相应代数方程组的多重网格算法。首先，构造Biot固结方程稳定的有限元离散格式并分析其收敛性和收敛阶。然后，通过分析相应离散系统的系数矩阵结构，设计与网格尺寸无关的一致收敛的多重网格算法，并分析算法的收敛性。当前，对最低阶能元逼近固结方程中的位移及Lagrange线性有限元逼近压力变量的情形，测试发现在较规则网格的情形下，该有限元离散格式具有正常的收敛阶，并且在一致剖分网格下，该有限元方法具有超收敛阶。 然而，当网格不规则时，该离散格式出现了掉阶的现象。对该离散系统的多重网格算法，我们主要研究了基于分散式Gauss-Seidel光滑算子的多重网格算法，并得到了结构网格下与空间离散步长无关的一直收敛的多重网格算法。