磁流体动力学方程的有限元法及多重网格算法

Magnetohydrodynamicals (MHD) was initiated by Hannes Alfven. It studies the interaction of electromagnetic fields and conducting fluids. Applications of MHD on different areas can be found in many disciplines such as nuclear, chemical engineering, metallurgy and spaceflight. In this program, we will focus on the incompressible MHD model. Firstly, we will study a class of divergence-free mixed finite element method based on FEEC. Then, we will study uniform pre-conditioners and multigrid method for the discrete saddle point systems. Finally, we will use the multigrid method designed based on FEEC discrete systems as auxiliary subspace pre-conditioner for the saddle point problems arising from other stable and compatible finite element discretizations of incompressible MHD.

磁流体动力学由瑞典物理学家汉尼斯•阿尔文创立，是结合经典的流体动力学和电动力学的方法，研究导流体和电磁场相互作用的学科。它描述导流体在磁场中的运动，在核能、化工、冶金和航天等领域占有重要地位。其数值算法的研究具有重要理论意义和工程实际价值。本项目以磁流体动力学中具有代表性的不可压缩磁流体动力学方程为研究对象，首先研究该方程的一类基于有限元外微分算子(FEEC)的、自然保持速度场和磁场严格无散条件的混合有限元法；而后对基于FEEC离散得到的鞍点系统设计关于时间步长和空间步长一致的预处理子和多重网格算法；最后，将基于FEEC离散系统设计的多重网格算法用作不可压缩磁流体动力学方程的其他非基于FEEC的稳定、相容离散系统的辅助子空间预处理子。

磁流体动力学方程描述导电流体在磁场中的运动，涉及到电磁学，流体动力学，化学动力学以及等离子体运动等多门学科，广泛应用于物理学的多个分支以及核能、化工、冶金、航天等技术领域，在国防以及国民生产中占有重要地位。项目系统研究了磁流体动力学方程的保磁高斯定律，流体质量守恒条件以及能量守恒的混合有限元方法，该方法结合有限元外微分（FEEC）和辛算法的优势，使得算法在空间和时间上都能够保持相应的结构。项目系统研究了鞍点系统的快速求解算法，首先对一般鞍点系统分析了经典迭代算法的收敛性和预处理算法的有效性，将收敛条件很大程度地放宽；而后针对Vector Laplacian方程的基于FEEC的混合有限元离散系统，设计基于多重网格算法的预处理算法，该预处理算法的多重网格光滑只需使用点态光滑即可。结合Vector Laplacian方程的预处理算法和一般鞍点系统的预处理算法，可得到磁流体动力学方程离散鞍点系统的快速求解算法。通过本项目的研究，为磁流体动力学方程的求解提供一种高效的、保时间和空间结构的有限元算法，并配备相应离散系统的高效求解算法。