复合凸优化的算法研究及应用

Integrating the problems in nonlinear programming, numerical optimization, wireless sensor networks and compressed sensing, this project is devoted to the study of convex composite optimization problems by virtue of exploiting the specific structure of convex composite optimization and the theory of numerical optimization and numerical analysis. In this project, we will propose the novel linearized regularization methods to solve the convex composite optimization problem, investigate their convergence properties, including the convergence results, the convergence rate and the convergence criteria. Furthermore, we will provide the global convergence strategy and inexact scheme, as well as their convergence analysis. Meanwhile, we will apply the proposed model and algorithms to solve the sensor network localization and compressed sensing problems. This project falls into the inter-discipline of optimization theory, numerical optimization, communication control and signal science, which has high academic value and important research significance in both theory and applications.

本项目将非线性规划、数值优化、无线传感器网络和压缩感知等问题有机地结合起来，充分利用复合凸优化的特殊结构、数值优化和数值分析的理论知识，对复合凸优化问题进行分析和研究。本项目将提出新型线性化正则化方法并全面研究算法的收敛性质，包括收敛性结果、收敛速度和收敛判据，设计全局收敛策略和非精确迭代策略并建立相关收敛性质。同时，本项目还将所研究的模型和算法应用于解决无线传感器网络定位和压缩感知等实际应用问题。本项目属于优化理论、数值优化、通讯控制、信息科学等多个分支的交叉学科，无论在理论研究还是在应用前景上都有重要的学术价值和研究意义。

随着大数据时代的来临，最优化模型与大规模数优化算法成为了非常热门的研究领域，为大数据问题提供可行的研究模型和计算方法。本项目分别针对复合凸优化模型和广义凸优化模型，分别研究这两类大规模问题的数值算法及相关应用。.复合凸优化问题是一类重要的非凸非光滑优化问题，它为可行性问题、极大极小问题、正则化问题等应用数学以及多个学科的应用问题提供统一的模型框架。然而，限于模型的复杂结构与不良性质，复合凸优化问题的数值算法研究进展缓慢且困难较大。为了攻克复合凸优化问题的计算难题，本人及合作者原创地提出了快速的一阶迭代算法：线性化邻近点算法。在局部p阶局部weak sharp minima和quasi-regular的假设前提下，我们证明了这一类算法（包括精确、非精确、全局化线性化邻近点算法）的超线性收敛速度，攻克了大规模复合凸优化的计算难题，并成功解决了（非凸）可行性问题和无线传感器网络问题，通过大量的数值模拟展示了其解决大规模传感器网络定位问题的可行性和高效率。.广义凸优化模型比凸优化模型能够更准确地刻画实际问题，而且又保留了凸函数本身的一些优良性质，因此得到了国内外学者的广泛研究。次梯度算法是求解凸优化问题的著名一阶迭代算法，其理论性质、算法改进和实践应用已经被国内外学者广泛研究。然而，次梯度方法是否能够推广适用于凸优化范畴以外的某类问题，尚未有正面的回答与相关的研究。本人填补了这一部分的研究空白，系统性地将次梯度算法的理论研究和应用推广到广义凸优化领域。我们系统性地将建立了广义凸优化问题的次梯度类算法的理论研究和应用，包括随机形式、原-对偶形式、修正次梯度算法研究，并应用于解决经济学中著名的Cobb-Douglas生产效益问题，展示了大量的大规模数值模拟结果。.本项目共发表了5 篇学术论文，分别发表在国际著名期刊SIAM Journal on Optimization, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Pure and Applied Functional Analysis, Quantitatively Biology。代表性成果荣获“2016年广东省计算数学优秀青年论文奖”特等奖。