黎曼流形上凸优化问题算法研究及应用

In this project, we will study the convex optimization problems on Riemannian manifolds. We try to study the subgradient methods on Riemannian manifolds, and establish their convergence and linear convergence criterias. As applications, we will use our results to solve convex feasibility problems and Riemannian center of mass problems on Riemannian manifolds. Our project is a combination of Riemannian geometry, variation analysis, numerical analysis, nonsmooth analysis, optimization theory. Hence, in view of application and theoretical development, our project is very meaningful and valuable.

黎曼流形上的优化理论和方法研究是近年来学者研究热点问题之一，本项目将研究黎曼流形上的非光滑凸优化问题。解这一问题的经典算法是次梯度算法，然而因为黎曼流形的几何特征，这一方面的研究还只有一些初步的研究结果。本项目将研究一般的黎曼流形上次梯度算法和增量次梯度算法的收敛性以及线性收敛条件，这些研究结果将完善黎曼流形上次梯度算法的研究。作为应用，本项目将研究结果应用到近年来受到很大关注的黎曼质心问题和黎曼流形上的凸可行性问题，并对这两类问题分别提出有效的算法，建立这些算法的收敛性和线性收敛性结果。本项目是属于黎曼几何、变分分析、数值分析、非光滑分析、优化理论等多个分支的交叉学科，无论在理论上还是应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

黎曼流形上优化理论和方法的研究是近年来学者研究热点问题之一，无论在理论还是应用方面都有重要意义。本项目主要研究了黎曼流形上求解优化问题的有效算法及其应用，发表科研论文6篇，其中5篇SCI收录。主要研究成果有以下一方面。在曲率有下界的黎曼流形上，建立了求解凸优化问题采用不同步长的次梯度算法、增量次梯度算法的收敛性，并用来求解黎曼质心问题。在局部凸/拟凸条件下建立了黎曼流形上一般梯度下降算法的局部收敛性，以及在弱尖锐极小解存在的条件下梯度算法的线性收敛性。作为应用，提出了求解黎曼质心问题的梯度算法。此外，通过引进“逐点凸”概念，将平衡问题转化为变分问题。研究了黎曼流形上平衡问题解的存在性、唯一性及解集的凸性。建立了一般黎曼流形上求解多目标优化问题的梯度下降算法的收敛性。以上研究结果完善了黎曼流形上光滑优化问题和凸优化问题的数值计算方法，推广/改进了已有结果。