关于Hermite展开和Laguerre展开的系数乘子

The Hermite functions and the Laguerre functions play an important role in many fields of mathematics, and are also important tools and research subjects in harmonic analysis on Euclidean spaces. This project is to study the Hardy-Littlewood type theorems and the problems on coefficient multipliers of functions in Hardy spaces associated with expansions in terms of the generalized Hermite functions, the multivariate generalized Hermite functions and the Laguerre functions. Some conditions on multipliers will be introduced in each case separately, the range of indexes will be determined as large as possible, and various theorems on coefficient multipliers will be proved. The real-variable methods in harmonic analysis and some theory in functional analysis will be applied in study of these problems, and because of complexity of these basis functions, some new methods or tools will be used.

Hermite函数和Laguerre函数在许多数学领域中发挥着重要作用，也是欧氏空间上的调和分析中的重要工具和研究对象。本项目研究Hardy空间中的函数关于广义Hermite函数系、多元广义Hermite函数系和多元Laguerre函数系展开的Hardy-Littlewood型定理和一般系数乘子问题，分别引入合理的系数条件，确定尽可能大的指标范围，建立具有深刻意义的各种乘子定理。这些问题的研究将利用调和分析实方法和泛函分析的手段，并且由于基函数的复杂性，需要采用一些新方法或新途径。

Hardy空间中的乘子问题是调和分析中的重要问题，包括以乘子形式定义的线性算子和系数乘子。Hermite函数和Laguerre函数在许多数学领域中发挥着重要作用，也是欧氏空间上的调和分析中的重要工具和研究对象。.本项目取得了如下主要研究成果：. (1).建立Hardy空间中函数关于Hankel变换的系数乘子，其中Hardy空间与Bessel微分算子有关。一个直接推论是Hankel变换的Paley型不等式。.(2).利用Hardy空间的原子分解，我们延拓了关于广义Mehler-Fock变换的Hardy型不等式组，将临界指标2-p扩充到一个以它为左端点的区间。. (3).建立Hardy空间中的函数关于指数型Jacobi函数系展开的系数乘子定理，它是通常Hardy空间中Fourier展开乘子定理的推广。导出了Hardy空间中的Jacobi展开的Hardy不等式。.(4).建立一元和多元Hardy空间中的函数关于广义Hermite函数系和多元广义Hermite函数系展开的Hardy-Littlewood型定理。.(5).分别给出一元和多元Hardy空间中的函数关于广义Hermite函数系和多元广义Hermite函数系展开的Poisson积分的平方模估计，并应用于乘子定理。.(6).建立多元Hardy空间中的函数关于多元广义Hermite函数系展开的一般系数乘子定理，研究关于多元广义Hermite展开的两种类型的Hardy不等式。