若干p-Laplacian特征值相关问题的研究

The related problems of p-Laplacian eigenvalue has been one of the hottest issues in recent nonlinear scientific research. Since the 1970s it has received extensive attention of domestic and international numerous well-known mathematician, and a lot of valuable results are obtained. However, so far some eigenvalue related problems have not been fully investigated.The aim of this project is to study the existence and distribution of all eigenvalues of the Dirichilet problem for p-Laplacian by using the theory of topological degree, and the existence and multiplicity of solutions of across resonance problems for p-Laplacian equations by critical point theory, mountain pass lemma, upper and lower solution method and nonlinear analysis techniques, beside, to explore and summarize the internal connection and essential differences beween eigenvalues established by different methods, hoping to find a new method to study the spectrum of nonlinear differential operator. These researches will provide an important theoretical basis for further research on related problems of p-Laplacian.

p-Laplacian特征值相关问题的研究是当代非线性科学研究的一个热点课题。从上世纪七十年代开始它一直受到国内外众多知名数学家的广泛关注，并取得了很多有价值的研究结果。然而，迄今为止其特征值相关的一些问题还没有完全研究清楚。本项目旨在利用拓扑度理论研究p-Laplace算子在Dirichlet边值条件下所有特征值的存在与分布，并在此基础之上，利用临界点理论、山路引理、上下解方法以及非线性分析技巧，研究在更一般条件下p-Laplacian方程跨共振问题解的存在性与多重性。探讨和总结不同方法建立的特征值之间内在联系和本质差别，希望从中找到研究非线性微分算子谱的一种新方法。我们的研究将会为人们进一步研究p-Laplacian相关问题提供重要的理论依据。

p-Laplace 算子相关问题的研究无论从理论上还是应用上都是十分重要的，它为许多拟线性和非线性偏微分方程众多问题提供了重要的研究模式和理论框架。本项目主要研究了在Sobolev空间框架下p-Laplace 算子特征值重新建立和相关问题解的存在性及多解性，以及相关拟线性偏微分方程解的特性和非线性发展方程解的拓扑结构。. 本项目获得了如下有意义的研究成果：（1）对在Sobolev空间上的函数类，利用拓扑度进行了重新的刻画，从而刻画不同类的特征子空间，建立了p-Laplace 算子在Dirichlet边值条件下新序列的特征值。(2) 在加权Sobolev空间上，证明了拟线性退化椭圆方程解的存在性，以及解集的结构。（3）研究了一类非线性发展包含解集的拓扑结构以及解集的性质；同时在有限维空间里，证明了一类时滞后发展包含非局部问题解的存在性，以及解的拓扑结构，并将这些结果应用到了若干类最优反馈控制系统问题中。. 本项目的完成将有助于完善了临界点理论，丰富了非线性微分方程的研究方法。