Navier-Stokes-Darcy耦合问题的局部并行有限元算法研究

The coupled Navier-Stokes-Darcy problems belong to the classical multi-physics and multi-model strong coupled problems. How to design efficient algorithms for solving the coupled Navier-Stokes-Darcy problems becomes one of the most hot topics in Computational Fluid Dynamics in recent years for it’s widely applications in engineering and scientific researches. In different regions, the coupling equations may vary in type, scale, variable, and many other physical properties, which leads to considerable numerical difficulties in solving the coupling model directly, such as huge scale matrix, complicated interface conditions and so on. In order to reduce the computational scale and exploit the existing computing resources, we propose the local and parallel finite element methods. In brief, using the idea of decoupled two-grid method, the coupling model is decoupled into two independent sub-problems. Then using the domain decomposition method, each sub-problem can be divided into a series of independent sub-problems which can be solved in parallel. By this way, we can reasonably and effectively solve the problems in parallel. Finally, we will verify the effectiveness and the feasibility of the proposed methods in both theoretical analysis and numerical tests.

Navier-Stokes-Darcy耦合问题属于典型的多物理多模型的强耦合问题，其在工程和科学研究中有着广泛应用，设计相应的高效算法成为近些年来计算流体力学研究中的热门问题。由于在不同的区域内，方程在类型、规模、变量等方面的差异，从而导致了直接数值求解Navier-Stokes-Darcy问题会出现求解规模巨大、交界面处理复杂等问题。为了达到降低计算规模且充分利用已有算法资源的目的，我们构造了相关的局部并行有限元算法。首先利用两重网格解耦算法的思想，将耦合问题分离成两个独立的子问题，然后结合区域分解对独立子问题进行区域划分，把每个子问题再转化为一系列相互独立可以并行求解的子问题，实现Navier-Stokes和Darcy问题的高速并行处理，达到在保证计算精度的同时提高计算效率的目的。并在理论和数值上分析和验证算法的有效性和可行性。

地上水-地下水系统（Navier-Stokes-Darcy耦合系统）在人类的现实生活中起着十分重要的作用，由于地下水系统十分容易受到污染，因此它直接而紧密地关系到我们赖以生存的自然环境。因此如何高效地研究该模型成为近些年来的一个科研热点问题。该模型为强耦合问题，直接求解会遇到很多困难。本项目通过设计高效的并行有限元算法为数值模拟该耦合系统提供理论和数值支撑。算法的核心思想是：首先在较粗的网格上求解耦合问题，得到一个数值解，然后将得到的数值解作为细网格上交界面条件的近似，从而达到求解耦合问题的目的。在此基础上，结合区域分解方法，设计可在局部子区域上完全并行求解的算法，对算法在理论上进行收敛性分析及数值验证。注意到传统局部并行算法的最终解的全局不连续缺点，我们结合单位分解技巧，设计新的并行算法保证最终逼近解为全局连续的，在此基础上可以结合校正技术提高解的L2误差估计。.我们基本已经完成项目中所列研究内容，构造了具有不同交界面条件的（即BJS和BJ）定常Navier-Stokes-Darcy耦合模型的局部并行有限元算法的系统理论框架，并通过数值模拟对理论加以验证，最终将成果转化为科研论文，发表在各个期刊上。目前由项目支撑所公开发表SCI论文8篇，在线发表SCI论文1篇。.本项目综合了数学、流体力学以及工程应用方面的背景知识，所研究的内容涉及面广、应用背景强、有一定的难度。项目内容为数值模拟地上水-地下水系统提供理论依据和算法工具。进一步地，在此基础上增加一个反应扩散方程就可以研究污染物在水中的传播情形，对于研究水中污染物的传播和扩散情形有着重要的科学指导意义，而为非线性科学的理论探讨和流体力学在工业部门的应用提供了新的研究途径。