关于Moment-Angle流形的几个问题

The toric topology has gradually developed into an important field of topology. As the bridge connecting the algebra, geometry and combinatorics, it has an important role in promoting the development of combinatorics, commutative algebra and group theory. The ideal and the method of it also penetrated into the other branch of topology, promoted the development of topology itself. Moment-Angle manifolds are an important class of toric topology and bring new ideas to toric topology. As the torus bundle of quasi-toric manifolds, Moment-Angle manifolds exist in each dimension and are closely related to a lot of problems in topology. Over the past decade there are many rusults on research of it's topology, and one basic problem of those is the description of cohomology ring and the homotopy type. This project mainly investigates three questions of Moment-Angle manifolds:（1）Polynomial expression of cohomology group (ring);（2）The split of Moment-Angle manifolds as torus bundles over quasitoric manifolds;（3）Because that Moment-Angle manifold has the same homotopy type as it's Borel construction removed zero-cross section and that the Borel construction which is a complex vector bundle with torus group can be divided into direct sum of some line bundles，so this project investigates the homotopy type and the homology group of Moment-Angle manifolds by using it's Borel construction.

环面拓扑是拓扑学的一个重要分支，其思想和方法已经渗透到组合、交换代数和群理论等领域。 Moment-Angle 流形是环面拓扑中一类重要流形，因其特殊的组合构造方式和良好的拓扑性质而与很多问题密切相关。 作为 Quasi-toric 流形上的环面丛，Moment-Angle 流形分布在每个维数，而对其伦型与同调的刻画一直是一个基本的问题，本项目从环面丛的角度，就 Moment-Angle 流形如下三个问题展开研究：（1）上同调群（环）的多项式表达形式；（2）作为 Quasi-toric 流形上的主环面丛的分裂；（3）由于 Moment-Angle 流形与它的 Borel 构造挖掉 0-截面的空间具有相同的伦型，利用 Borel 构造来研究其伦型、计算其同伦群。

1991年，Davis和Januszkiewicz 将环面簇概念拓扑化, 他们提出了两类流形，quasi-toric流形和 small covers流形。这两类流形分别带有局部标准李群作用，且轨道空间为单凸多面体。环面拓扑流形把组合、代数、拓扑联系起来。 Davis和Januszkiewicz 还介绍了一类流形 ，其轨道空间为单凸多面体，这类流形有如下的万有性质: 对每个quasi-toric流形，都可成为其上的主环面丛。这类流形 使我们能更好的理解环面拓扑范畴里代数对象与组合对象之间的内部联系。2000 年, Buchstaber和Panov 对此类流形 给出了多种构造方式，称其为Moment-Angle流形，并由此得到了更一般的Moment-Angle复形的定义。Moment-Angle流形在各个维数都有分布，具有好的性质，与拓扑中很多问题联系密切。.. 结合已有的研究方法和研究成果，我们主要研究如下的3个问题：.问题1：如何用多项式环商去理想的形式来显式表达Moment-Angle流形 的上同调群（环）？.问题2： 作为quasi-toric流形 上的主 （环面）丛，Moment-Angle流形在什么条件下可以分裂为 丛的直和？.问题3：Moment-Angle流形的Borel构造是quasi-toric流形上的一个复平面丛，可以分裂为线丛的直和形式。如何利用 的Borel构造来研究其同伦型、同伦群？.. 本项目整体进展并不理想，目前尚无论文发表（有1篇论文已经接收），通过研究，我们得到了一些局部的结果。对于问题1的研究，我们得到：（1）确定了Moment-Angle流形作为quasi-toric流形上的环面丛的Euler类的具体形式。 （2）对某些2维和3维单凸多面体上的Moment-Angle流形的上同调群，我们做了计算，得到了具体多项式表达的结果，但一般规律没有找到。对于问题2的研究，我们得到Moment-Angle流形作为quasi-toric流形上的环面丛可以分裂为直和形式的一个条件。这些结果已经被接收，待发表。 对于问题3的研究，我们目前没有取得实质性进展。