伪黎曼空间中2-调和类空子流形的研究

Following the concept of biharmonic maps suggested by J.Eells and J.H.Sampson [1] in the last decade, in the different setting, motivated by that works, B.Y.Chen [2] defined biharmonic submanifolds in Euclidean space as those with harmonic mean curvature vector field, equivalently, the position vector field is a biharmonic map. Then the study on biharmonic submanifolds in Riemannian space has been developed vigorously [3- - 13] encouraged by that of biharmonic maps. In contrast with that, though there are a few results on biharmonic submanifolds in pseudo-Riemannian spaces, the study of the corresponding problems in pseudo-Riemannian spaces is still in need of development. In this project, we plan to study the geometry of spacelike biharmonic submanifolds in pseudo-Riemannian spaces, the main content includs characterizing the geometry and topology of non-harmonic biharmonic spacelike submanifolds - - - called proper biharmonic spacelike submanifolds, and classifying proper biharmonic spacelike hypersurfaces in the sense of rigidity. The research results can help one to understand the geometry of submanifolds affected with pseudo-Riemannian metric, and can explain some physical phenomenon from the geometric point of view. It also can be applied to the field of boundary based surface design in computational geometry.

J.Eells和J.H.Sampson在上世纪60年代提出了2-调和映照的概念[1]，受此启发，若欧氏空间中子流形M的平均曲率向量场为调和的，B.Y. Chen称之为2-调和子流形[2],这等价于M的位置向量场是M到欧氏空间的2-调和映照.伴随着2-调和映照研究的深入，黎曼空间中2-调和子流形的研究得到蓬勃的发展[3-13].然而与之相对照的是,伪黎曼空间中的2-调和子流形的研究尚处在亟待发展的阶段.本项目拟就伪黎曼空间中2-调和类空子流形的几何进行研究,主要内容包括刻画非调和2-调和类空子流形- - -即称之为正常2-调和类空子流形的存在性及其几何与拓扑特征、实现对伪黎曼空间形式中正常2-调和类空超曲面的较为完全的刚性分类.本项目的实施可以进一步理解伪黎曼度量对子流形几何的影响，预期研究成果将可以从几何的角度解释某些物理现象，同时将在计算机辅助几何设计方面有一定的应用前景.

本项目研究伪黎曼空间中2-调和类空子流形的几何与拓扑, 主要包括陈邦彦猜想的探索和非极小2-调和子流形的分类问题. 得到了如下几个方面的重要结果. . 1. 考虑伪黎曼空间形式中伪脐2-调和类空子流形. 我们证得了子流形或是极小的；或其平均曲率的平方为外围空间截曲率的绝对值. 这是对陈邦彦猜想的部分肯定. . 2. 研究伪黎曼空间形式中具有平行平均曲率向量场的2-调和类空子流形, 证明了这样的子流形或为极小子流形, 或其平均曲率有常数上界, 并给出了取到上界的充要条件. 对外围空间是负曲率的情形, 得到了其中子流形是2-调和的一个充分条件及第二基本形式模长平方的间隙现象. . 3. 对指标为1的伪欧氏空间中具有至多两个不同主曲率的2-调和超曲面, 根据形状算子的四种可能形式, 逐一证明了相应的2-调和超曲面也都是极小的. 当伪欧氏空间的指标大于1时, 我们考虑了形状算子可对角化的情形, 在假定超曲面最多具有三个不同主曲率的情形下, 证明了这样的2-调和超曲面也是极小的. . 4. 探索了指标为s的非平坦伪黎曼空间形式中2-调和超曲面或具有正常平均曲率向量的超曲面. 在假定其形状算子可对角化, 且至多具有三个不同主曲率时, 证明了这样的超曲面具有常平均曲率. 并对其中非极小的2-调和超曲面给出了完全分类.. 5. 给出了一类特殊的黎曼型乘积空间和伪黎曼型乘积空间中PNMC 2-调和子流形的方程. 作为应用, 给出了余维数大于2的2-调和PNMC曲面的分类和类空超曲面的刚性结果; 得到了余维数大于2的2-调和PNMC曲面是PMC曲面的充分条件. . 项目的上述结果是对陈邦彦猜想的部分肯定和推进. 关于非极小2-调和超曲面的分类结果是存在性方面目前国内外最好的结论, 这些模型空间为后续研究提供了思路和方法. 项目的实施完成系列学术论文20余篇, 硕士学位论文10篇, 博士学位论文1篇.