多物种测度值马氏过程的编码及性质的研究

In this porject,we aim to combine the probabilist method and analytical method to investigate properties of a coding process of multitype branching processes and properties of multitype measure-valued Markov processes from the view of probabilistic intuition. More precisely, the following three aspects will be considered. 1). explore the applications of the coding process of multitype branching processes,which is defined recently; investigate the scaling limit of the coding process in aim to establish a connection between multidimensional Levy process es and continuous state multitype branching processes; further more,investigate properties of the two processes from this connection. 2).calculate the spreading rate of the support of multitype superprocesses and multitype branching Levy processes by the thought of Levy snake representation of superprocesses,and define the first passage process of the branching Levy process to investigate the travelling wave problem of the related partial differential equations. 3).investigate the limit theory of the subcritical or critical multitype superprocess when time t goes to infinity, by means of the martingale changes of measure. The study on the problems in the first aspect will extend the coding theory of branching processes from monotype cases to multitype cases; the study on the problems in the second aspect will give some more examples that the problems of the partial differential equations can be solved by probabilistic methods, and the third aspect will enrich the limit theory of multitype superprocesses.

本项目的主要目的是从概率直观的角度出发,应用概率和分析相结合的方法,研究多物种分支过程的编码过程和多物种测度值马氏过程的性质。具体地说，本项目主要研究下面三方面的内容：1). 研究多物种分支过程的随机游动编码，并研究该编码过程的应用和加权极限问题，进而建立连续状态多物种分支过程和多维 Levy 过程的对应关系，并通过这种关系，研究这两类过程的性质；2). 应用超过程 Levy 蛇描述的思想，研究多物种超过程和多物种分支Levy过程支撑集的性质，定义分支Levy 过程的首达过程，并探索首达过程在相关偏微分方程的行波解问题中的应用；3). 利用测度的鞅变换方法，研究在时间趋于无穷时，下临界或临界多物种超过程趋于0的速度。 问题1)的研究是 BGW分支过程的随机游动编码到高维情形的拓展；问题2)的研究可以给出偏微分方程问题的概率解法的几个实例；问题3)的研究将大大丰富超过程的极限理论。

本项目的从概率直观的角度出发,应用概率和分析相结合的方法,研究了多物种分枝过程的编码过程及其应用，希望最终实现用Levy 蛇刻画对多物种测度值分枝过程。本项目主要得到下面结果：(i).将一维Ballot 定理推广到多维情形，得到了多维Ballot 定理。(ii).完善了多物种分枝过程的随机游动编码过程；用d个独立的d维随机游动编码了d物种的分枝过程。得到该编码的一种停止时刻向量组是一个由d 维方程组的最小解，而且它是对应分枝树中各类粒子的总数。应用多维Ballot 定理，项目组给出了d 物种分枝树中各类粒子总数的分布的显式表达。(iii)用高维Ballot 定理重新证明了Lagrange-Good反公式；利用概率的方法计算了很多给定条件的有色树的个数。其中给定后代种类的粒子个数的无标记森林的个数的计算，据项目组所知是本项目首次提出的，其它计数结果虽然已经存在，但本项目给出了一种新的概率的证明方法。 (iv). 利用测度的鞅变换方法，得到了多物种分枝过程的极限性质的一些结果并对一些非线性偏微分方程的解有了一些新的认识。 前三个问题的研究将 BGW分枝过程的随机游动编码推广到高维情形；第四个问题的研究可以给出偏微分方程问题的概率解法的几个实例，并丰富分枝过程灭绝性质的理论。