函数型数据分析中的罚样条法：估计、检验及应用

As technology advances, scientists are increasingly collecting large scale data with complex structure. One typical example is functional data. How to model these data becomes an interesting research topic in statistics. Compared to traditional nonparametric smoothing techniques, penalized splines method has computation advantages and model extendibility, thus making it an attractive tool for functional data analysis. We consider penalized splines estimation and inference for functional data. First, we propose a weighted penalized splines estimate of the population mean function, which accounts for the within-subject correlation and hence achieves more efficiency, and the weights are designed by estimating the covariance function via a new bivariate penalized splines smoothing approach with nice asymptotic properties; Second, by utilizing the mixed model representation of penalized splines, we propose a pseudo likelihood ratio test that could handle individual effects and hierarchical structure in functional data. In the application, we analyze the sleep electroencephalograms of the subjects and study how aging affects the quality of human sleep and health. There are very few inference approaches for functional data and our method will provide a new tool for medical studies.

信息收集技术的发展使得以函数型数据为代表的大型复杂数据在研究中屡见不鲜。目前，对函数型数据的建模分析及检验是统计学研究的一大热点。相比于传统的非参数回归方法，罚样条法具有独特的计算优势及灵活的模型延拓性，适宜用于分析函数型数据。本课题将基于罚样条法, 发展一套函数型数据模型估计和检验理论。首先，针对函数型数据存在组内相关性的特点，我们提出基于协方差函数的加权型罚样条法以获得总体均值函数的有效估计量，为解决权重设置的问题，我们将发展新的多元罚样条法以获得协方差函数的估计量并证明其大样本性质；其次，针对函数型数据包含个体差异、存在多层结构等情况，我们利用罚样条和线性混合模型及分层模型的内在联系，提出一个拟似然比检验统计量并研究其理论性质，弥补现有文献上函数型数据检验方法的不足。在应用方面，我们对脑电波数据进行建模，分析年龄老化如何影响人的睡眠质量及健康状况，为医学研究提供新的分析工具。

信息收集技术的发展使得以函数型数据为代表的大型复杂数据在研究中屡见不鲜, 而如何对此类数据进行建模分析及检验则成为统计学研究的一大热点。本课题研究并深化了罚样条法的估计和检验理论，并将其用于分析函数型数据。 主要研究成果包括如下方面。 首先，针对函数型数据存在组内相关性的特点，我们提出基于协方差函数的加权型罚样条法以获得总体均值函数的有效估计量，为解决权重设置的问题，我们发展新的多元罚样条法以获得协方差函数的估计量并证明其大样本性质；其次，针对文献上较少有适用于函数型数据的检验方法，我们利用罚样条和线性混合模型的关系，提出运用拟似然比检验统计量来研究非参数检验问题，并推导了检验统计量的理论性质。 在应用方面，我们结合弥散张量成像数据研究神经系统疾病诊断问题，特别地，我们对于数据中的重要指标进行建模，为医学研究分析病人的健康状况提供帮助。 此外，我们也尝试推广部分理论研究结果至其他模型，并用于分析国内金融市场数据。