带时滞和自由边界的反应扩散方程的研究

In the research field of reaction-diffusion equations, the free boundary problem is recently a hot topic. Compared with the fixed boundary problem and the entire space problem, it has many meaningful and new phenomena. So far, there is little research on the reaction-diffusion equations with time delay and free boundary, which leads to study this problem in our project. Specifically, we will consider the influence of time delay, free boundary, advection effects, temporal/spatial heterogeneity on the dynamical behavior of solutions. For some typical equations, we will construct steady states and semi-waves by using the theory of elliptic equations and a phase plane analysis, then give the sufficient conditions for spreading or vanishing by using the eigenvalue theory of linearization problems, and use the semi-waves to construct some refined sub- and supersolutions to characterize the asymptotic profiles and asymptotic spreading speeds of spreading solutions. Some effective methods (such as the zero number property) used to study the equations without time-delayed terms will do not work in our problems. To overcome this difficulty, the ideas used in the study of the Cauchy problems with time-delayed terms can be applied.

在反应扩散方程的研究领域，带自由边界的问题是近年来的一个热门话题，跟固定区域或全空间中的问题相比它有许多有意义的新现象。迄今为止，同时带有时滞和自由边界的反应扩散方程的研究还很少，本项目拟研究这个课题。具体地说，我们将考虑时滞、自由边界、对流效应、时空非均匀性等要素对反应扩散方程解的动力学行为的影响。针对一些典型的方程，我们将使用椭圆方程理论和相平面分析等方法构造平衡解、半波解等各类特殊解，利用线性化问题的特征值理论给出解发生传播或消逝的充分条件，然后使用半波解构造精细的上下解来刻画传播发生时解的渐近形状和渐近传播速度。对于无时滞的方程特别有效的零点性质等工具将不再适用，我们将参考时滞方程Cauchy问题的研究中所使用的一些思路来克服证明中的困难。

本项目旨在研究时滞效应、自由边界条件、对流效应等因素对反应扩散方程解的渐近行为的影响。取得了以下结果：.1、研究了带时滞和自由边界条件的Fisher-KPP方程：我们首先给出模型的推导，提出了一个重要的“相容性条件”，并且给出解的存在唯一性结论；然后给出了解发生传播和消逝的充分条件，进而得到了解的传播-消逝二分性结论；最后利用非局部的半波解和比较原理刻画了传播发生时解的渐近形状和渐近传播速度。所得到的结果发表在 Calc. Var. Partial Differential Equations。 .2、研究了带保护区的反应扩散方程：我们给出了保护区长度划分的标准，得到了解渐近行为的完整描述，并且发现在相同的保护区长度条件下，联通保护区情形保护物种的效果更好。 我们还研究了带保护区的自由边界问题，也得到了解渐近行为的完整描述。相应研究结果发表在J. Differential Equations, J. Dynam. Differential Equations (2021年在线发表) 和 Appl. Math. Lett.。 .3、研究了时间周期环境中带对流项和自由边界条件的 Fisher-KPP 方程：非线性项在零点的导数值随着时间变化可以改变符号，我们得到了对流系数划分的标准，给出了解渐近行为的完整描述，利用时间周期半波解刻画了传播发生时解的渐近形状和渐近传播速度。所得到的研究结果发表在 Nonlinear Anal. Real World Appl.。 .在本项目资助下，我们获得了一批系统而精致的结果，研究结论对生态学领域相关问题有一定的指导意义。