求解非线性方程的加速迭代算法

Nonlinear iteration is a basic strategy for numerically solving nonlinear partial differential equations. When the multi-physical problems are considered, the efficiency and the convergence rate are also critical features of the iterative schemes. Based on the classical nonlinear iterative methods, for e.g., the Newton iterations, the corresponding two-level acceleration is found to be more efficient than usual, where higher order convergence rate are archived. The current project is supposed to establish the framework of two-level methods. Two different strategies are considered, which are based on mesh refinement and adaptive polynomials' order respectively. The convergence rate and error analysis are preformed for nonlinear elliptic equation and Navier-Stokes equation. Besides, the proposed two-level schemes are applied to multi-physical coupled problems, for e.g. NS/Darcy problem and the Fluid Structure Interaction problem.

非线性迭代法是求解非线性偏微分方程的基本数值方法, 特别在多物理耦合的问题中，迭代算法的求解效率和收敛特性变得十分关键。本项目主要研究建立在传统非线性迭代法之上的二重空间加速方案及其在实际计算中的应用。通过结合经典非线性迭代（如Newton迭代）法，构造具有高收敛的二重空间加速方案，用于数值求解非线性偏微分方程或多物理的非线性耦合问题。本项目研究两种二重空间的构建方法和理论分析：一是基于同网格上的不同函数空间的二重空间方案，二是基于不同网格的二重空间方案，并针对非线性椭圆型方程和Navier-Stokes方程研究二重空间构建加速算法并给出算法的收敛性和误差估计，为二重空间方法提供算法构建和理论分析基础。本项目还将研究二重空间方法应用于多物理的耦合问题：NS/Darcy耦合流体问题和流固问题，给出基于有限元离散的二重空间加速方案、收敛性分析及算法实现等。

非线性迭代法是求解非线性偏微分方程的基本数值方法之一, 在多物理耦合的问题、流体问题Navier-Stokes方程和形状优化问题中, 迭代算法的求解效率和收敛特性变得十分关键。本项目主要研究内容：通过结合经典非线性迭代法，如 Newton 迭代，变形Newton迭代等, 研究具有高阶收敛的二重空间加速方案,并用于求解非线性偏微分方程或多物理的非线性耦合问题。本项目主要研究成果有：提出了基于同网格上的不同函数空间的二重空间方案（p-version）, 以及基于不同网格的二重空间方案（h-version）, 并针对非线性椭圆型方程、 Navier-Stokes 方程和弹性体的形状优化问题等，构建了二重空间加速算法并给出算法的收敛性和误差估计, 为二重空间的加速算法提供了理论分析基础和实现手段。本研究取得了如下的主要成果: 发表SCI和EI论文8篇（见正文，其中中科院JCR II区论文2篇；培养2名博士研究生，8名硕士研究生；项目组成员1人获得国家青年基金；召开国际学术会议2次等。主要研究成果有：.I) 对Navier-Stokes方程的流函数形式，通过利用backtracking加速技术，给出了二重网格的Newton迭代算法，建立的相应的收敛性结果和误差估计，该结果从本质上改善了目前的相关研究工作，并在收敛阶上是最好的（Applied Mathematics and Computation 274 (2016) , 649–660）；.II) 对Navier-Stokes方程的流函数形式，提出了p-形式的样条函数方法，该方法首次把不同次数的样条函数空间作为多重空间的粗细空间，并建立了收敛性定理和误差估计（Computers and Mathematics with Applications 71 (2016) , 2557–2567）；.III）对具有多重悬点的网格，提出了连续性（或光滑性）条件，并构造的相关算法；数值例子表明，具有悬点的非正则网格对某些非线性问题，速度提高将近40%(Journal of Computational and Applied Mathematics 337(2018), 125–134 ).