基于ODE的反应扩散生态系统的分支问题及时空斑图研究

Through the study of this project, we reveal the reason and mechanism of spatiotemporal pattern formation for reaction diffusion ODE ecosystem, and bifurcation theory is an important method to understand spatiotemporal pattern dynamics deeply. In particular, Compared with the numerical simulation method, there is an essential difference in revealing the reason and mechanism of spatiotemporal pattern formation through the bifurcation theory. The project shall carry out the following three aspects: Firstly, we investigate the effects of distributed delay on globally asymptotically stable of the equilibrium of reaction diffusion ODE ecosystem by constructing the Lyapunov functional; Secondly, we investigate the effects of delay and nonlinear cross-diffusion on bifurction problem such as Hopf bifurcation、steady state bifurcation and Turing-Hopf bifurcation of reaction diffusion ODE ecosystem by normal form theory and abstract bifurcation theory; Thirdly, investigate the effects of delay and nonlinear cross-diffusion on spatiotemporal pattern of reaction diffusion ODE ecosystem by the Hopf instability deuced by Hopf bifurcatin、Turing instability deuced by Turing bifurcatin and amplitude equation，and analyse the reason and mechanism of these spatiotemporal pattern. The obtained results shall enrich the spatiotemporal dynamics of reaction-diffusion population systems, and can be used as the theoretical basis for explaining, predicting and controlling the natural phenomena in the ecological system and treatment in viral infections at the same time.

拟通过本项目的研究，揭示反应扩散ODE生态系统的时空斑图形成原因及机理，而分支理论是深刻认识时空斑图动力学的重要方法。特别的是，利用分支理论去揭示时空斑图的形成原因及机理与数值模拟方法相比有着本质的区别。本项目拟开展以下三个方面的工作：1) 构造Lyapunov泛函研究分布时滞对反应扩散ODE病毒模型平衡点全局稳定性的影响；2) 利用规范型理论和抽象分支定理研究时滞和非交叉扩散对反应扩散ODE生态模型的分支问题(如Hopf分支、稳态分支和Turing-Hopf分支)的影响；3) 利用Hopf分支诱发的Hopf不稳定、Turing分支诱发的Turing不稳定和振幅方程研究时滞和非交叉扩散对反应扩散ODE生态模型时空斑图模式的影响，并分析其形成原因及机理。研究结果将极大地丰富反应扩散生态数学模型的时空动力学，同时为解释、预测和控制生态系统中复杂的自然现象和病毒感染疾病治疗提供理论依据。

依照项目计划书的研究目标，本项目深入研究了反应扩散ODE生态系统的时空动力学，即全局稳定性、分支问题和时空斑图构造。对于全局稳定性问题，我们利用上下解方法或抽象泛函微分(差分)方程和分析技巧证明了解的存在唯一性与非负性，以及有界性，然后构造Lyapunov函数获得了解的全局稳定性、竞争灭绝和动力学一致性，这些结果被用来研究具有分布时滞和一般发生率函数的扩散病毒模型、具有密度依赖扩散和一般发生率函数的单株和多株病毒模型以及具有非线性发生率和capsids的时滞扩散人工免疫病毒模型等三个模型的动力学。对于分支问题，我们利用特征方程、中心流形定理和规范性理论研究了扩散或时滞诱发的Hopf分支、趋化性诱发的Turing分支以及扩散和时滞诱发的Turing-Hopf分支等分支问题，这些结果被运用到具有群体效应和非线性捕获项的时滞扩散捕食-食饵模型、具有双Allee效应的时滞扩散捕食-食饵模型、具有Holling II型功能性捕食函数和混合时滞(离散时滞和分布时滞)的扩散云杉蚜虫模型、具有趋化性的偏扩散细菌和病毒疾病传播模型以及具有趋化性的全扩散细菌和病毒疾病传播模型上，获得了丰富的动力学。对于时空斑图构造问题，我们利用对称性群和动力学方法，研究了螺旋拼砌的几何构型，从而获得了几种颜色对称螺旋斑图; 利用Hopf分支方法获得了分布时滞和离散时滞诱发的混沌斑图和螺旋斑图，以及利用Turing分支和Hopf分支方法获得了线性扩散(自扩散)和非线性扩散诱发(趋化性)的时空斑图。所获得的研究成果不仅可以丰富反应扩散方程组的理论结果，同时还可为解释、预测和控制生态系统中的自然现象和病毒感染疾病治疗提供理论依据。