Lane-Emden方程、Choquard方程和Chern-Simons模型中若干问题的研究

We classify the s finite Morse index solutions of the arbitrary polyharmonic Lane-Emden equation by new methods. We provide a new perspective and a deep understanding to classify the homogeneous solutions and construct the coercive estimates in large dimensions hence classify the stable and finite Morse index solutions in large dimensions. We also derive a novel monotonicity formula and obtain a Liouville theorem of the nonlocal Lane-Emden equation. By using Gamma function, we give the precise formula for the Joseph-Lundgren exponent. The fundamental method is the novel monotonicity formula. We study the the nonlinear Choquard equations with upper-critical exponent. We show the existence of solutions of the equations by introducing some new sufficient conditions..We.find the normalized solutions for a class of nonlinear Choquard equations with a prescibed norm. On the Chern-Simons model, we consider the existence and uniqueness of the non-topological solutions. We also study the existence and uniqueness of the mixed type solutions. Further, we will study the new type of nontopological bubbling solutions in the Chern–Simons model in the case of Rank>2. We will seek the sufficient conditions which may produce non-topological solutions. These conditions may be depending on the number of the singularsources. The perturbation of singular sources and the variational and topological methods will be involved.

研究多重的Lane-Emden方程，给出有限Morse指标解的完全分类。由于问题的特殊性，计划解决重数大于5的情形（不同重数之间有极大的差别)；对于分数阶（非局部）Lane-Emden方程，解决该类方程的有限Morse指标解的完全分类。利用Gamma函数，确定Joseph-Lundgren 指数的精确公式。关键的科学问题是建立新的单调性公式。研究“上临界”的Choquard方程, 利用变分法和非局部补偿技巧，寻找位势的充分条件，证明方程存在一族半经典解、且集中到位势的局部极小值点；并且确保参数的范围和位势的衰减假设是最优的； 解决该临界方程正规化解的存在性问题。在Chern-Simons 模型方面，对于Rank=2, 3或者更高时，我们将寻找充分条件，建立非拓扑解的存在性定理；这些条件取决于奇异sources以及它的个数。拟采用的办法是奇异sources的扰动、变分与拓扑方法。

Lane-Emden方程是椭圆偏微分方程的核心方程之一，对它的深入研究可以启示后续许多关键问题；波色-爱因斯坦凝聚型椭圆系统具有深刻的物理背景。本课题主要研究了多重Lane-Emden方程，给出了有限Morse指标解的完全分类。对于分数阶（非局部）Lane-Emden方程，解决了该类方程的有限Morse指标解的完全分类。利用Gamma函数，确定了Joseph-Lundgren指数的精确公式。研究了黎曼流形上Schrodinger方程组解的存在性和集中性；研究了Choquard方程解的存在性及其它性质，取得了最小能量估计和基态解的存在性、无穷多解、以及解的不存在性等结果。 研究了耦合非线性薛定谔方程组的 Liouville 型定理，所得到的结果可用于该方程组在次临界、临界以及部分超临界的情形，弥补了薛定谔方程组可能变号的解在 Liouville 型定理方面的空白。 研究了薛定谔方程在带有位势项和非自治项时，正规化解的存在性与多重性。 在Choquard类型的薛定谔方程方面，证明了一类带非局部项的临界拟线性薛定谔方程基态解的存在性。特别地，我们还通过Ljusternik-Schnirelmann理论，得到了该方程在一定条件下存在多个正解。研究了一类带有扰动项的椭圆方程正解的存在性问题，得到了不同质量条件下关于该方程正解的存在性结论。 研究了薛定谔系统在非线性项满足临界条件且耦合系数更加复杂的情形下基态解的存在性问题。 .在波色-爱因斯坦凝聚型方程组的正规化解方面，取得了突破性成果，引入了研究这类薛定谔方程组正规化解的新思想，它与目前国际上普遍采用的方法有本质的不同，从而能够解决一些长期没有得到解决的重要问题、取得了新结果。在Sirakov 猜想方面，取得本质性进展。解决了Kirchhoff 方程正规化解的精确个数问题，这是对Lane-Emden型方程研究的新发展。发现了Kirchhoff以及相应的薛定谔方程之间关于正规化解问题的深刻联系，为今后这方面的进一步研究奠定了基础。本课题的研究成果，丰富了变分方法的理论与技巧。