具奇性边界条件的非线性椭圆及发展方程（组）解的研究

1916年，Bieberbach在研究几何学问题时引入了带有奇性边界条件的椭圆型方程并讨论了一个具体的模型。而带有奇性边界条件的抛物型方程的研究起步更晚，始于19世纪60年代。鉴于问题的难度并受到当时研究方法的限制，该方向早期进展缓慢，而近期成为偏微分方程研究领域中的一个热门问题。.本项目旨在对某些有实际应用背景且有代表性的带有奇性边界条件的非线性椭圆型方程（组）和非线性发展方程（组）解的结构、渐近性质、爆破点集的分类和参数的临界指标进行深入而细致的讨论。力图在先验估计、正则性、迭代方法、比较原理、上下解方法、上下解构造、自相似解的构造、能量方法和渐近分析方法等方法上有所改进和发展，取得系列具有理论创新的研究成果，揭示一些重要的自然现象。

本项目讨论了在几何学、随机控制、统计物理学等学科中有广泛应用的带奇性边界函数和权函数的非线性椭圆型方程的边界爆破问题以及几类来源于几何分析、物理、化学反应动力学和力学等领域中的非线性偏微分方程(组)解的结构与性质。系统研究了 1) 一类带奇性边界函数和权函数且形式更为一般的拟线性椭圆型方程的边界爆破问题, 给出了边界爆破解的存在性、唯一性和解在边界附近的渐近行为；2）三种群的捕食模型解的动力学行为及其平衡解的存在性与不存在性、唯一性、稳定性和分支和一类竞争模型entire解的存在性；3) 几类非局部扩散方程(组)和时滞项反应扩散方程行波解的存在性和稳定性、一类周期浅水波方程组的解对于初值的非一致依赖性以及一类缓冲双稳系统平面波的大时间行为；4) 闭凸浸入曲线非局部曲率流问题，找到了两类具有互补旋转对称结构的闭凸浸入曲线，使其在该非局部流的作用下最终趋于(多重)圆圈，且在某种情况下曲线流将会发生奇性；5) 几类分数阶偏微分方程和一些带有测度项的非局部椭圆方程解的存在性以及一类随机偏微分方程解的存在唯一性和噪声项对该问题解的奇性的影响。