复对称算子及其应用

实对称矩阵作为一类特殊矩阵，其应用可广泛见于数论、几何、微分方程、矩阵论、泛函分析以及量子力学等多个学科领域。自伴算子作为实对称矩阵在无穷维空间上的一个自然推广，它的谱定理在算子理论中处于十分关键的地位。2006年，Garcia和Putinar推广实对称矩阵，提出了Hilbert空间上复对称算子的概念，并发起了对这类算子的研究。它包含了许多重要的算子类，如正规算子、Hankel算子、截断Toeplitz算子等，是一类有着广泛应用背景的特殊算子。即使是在有限维空间上，复对称算子的概念也不是平凡的。 目前这类算子的相关理论还很不完善，关于复对称算子结构和性质的许多问题亟待研究。本课题中，我们将从研究复对称算子的逼近和扰动问题入手，研究特殊算子类的复对称性，建立复对称算子的模型理论，藉此加深对复对称算子结构和性质的理解。在此基础上，研究复对称算子的分类理论、不变子空间以及复对称算子的推广和应用。

复对称算子作为复对称矩阵在无穷维Hilbert空间上的推广，是一类有着广泛背景的、较新的特殊算子类. 自Garcia和Putinar2006年引进复对称算子的概念以来，这类算子受到了越来越多的关注.. 在本项目中，我们主要从研究复对称算子的范数闭包问题入手，研究一般复对称算子的结构、性质、分类等， 并探索复对称的概念在算子理论、算子代数中的应用. 我们按照项目计划书开展研究，解决了复对称算子的范数闭包问题、对特殊复对称算子及相关算子类进行分类，解决了人们关注的一些问题，基本完成了项目的研究任务. 在项目周期内，我们共完成17篇研究论文， 其中16篇已发表或被录用、11篇与本项目内容直接相关。特别地，我们有两篇论文被Trans. Amer. Math. Soc.发表或录用.