多密度反应扩散模型的计算机辅助分析研究与应用

This project is mainly concerned with computer-aided analysis of the dynamical behaviors for the models，such as the models with invasive species, the unstirred chemostat models without conservation law and the spatial infectious disease models with isolation item. By Matlab software and designing related algorithm, the spread velocities of invasive species for free boundary value problem、the effects of inhibitor and toxin on microbial populations and the effects of isolation on the prevention and control of infectious diseases are detailed studied. Some existing results on the multiplicity, uniqueness and stability are supplemented and perfected by perturbation theory, bifurcation theory and degree theory; Based on Matlab, some efficient algorithms and GUI soft-wares for computer-aided analysis on the spatiotemporal dynamical behaviors of the models are also obtained to compute the spread velocities of invasive species for free boundary value problem，to solve the unstirred chemostat models without conservation law and to expose the mechanism of the pattern formation and selection of the infectious disease models with isolation item. By introducing the free boundary value problem, we establish the models of invasive species more. By the statistical data, some reaction-diffusion epidemic models about serious infectious diseases in China or Shaanxi province are established, and we shall study the epidemic trend and evaluate the effectiveness of the interventions. Theoretical analysis and computer analysis are perfectly combined. Some specific biological phenomena and rules are explained and revealed. Meanwhile, the research contents of reaction-diffusion models will be enriched.

本项目主要针对入侵物种的数学模型、守恒律缺失的恒化器模型及带隔离项的空间传染病模型的动力学行为进行计算机辅助分析。借助Matlab软件，设计相关算法，重点研究入侵物种自由边值问题中的传播速度、抑制剂和毒素对微生物种群的影响及隔离措施对预防和控制传染病的影响。利用摄动理论、分支理论、度理论等补充完善三类模型已有的多重性、惟一性和稳定性结论；基于Matlab平台，建立辅助分析反应扩散模型时空动力学行为的高效能算法，研发GUI软件包，计算自由边值问题中种群的扩散速度，求解守恒律缺失的非均匀恒化器模型，给出带隔离项的传染病模型斑图形成和选择机制。通过引入自由边值问题, 建立更丰富的入侵物种模型；根据相关统计数据，建立刻画中国或陕西省重大传染病的数学模型，研究疾病传播规律，评估各种干预措施的有效性。理论分析与计算机分析相结合，解释和揭示生命现象和规律，丰富反应扩散模型研究内容。

多密度的反应扩散模型的斑图理论与计算机辅助分析属于信息与数学交叉领域的热点研究课题。本项目借助Matlab软件和有限差分格式，设计了相关算法，主要针对种群入侵的反应扩散模型、守恒律缺失的非均匀恒化器模型、空间异性的传染病模型的动力学行为进行了理论与计算机辅助分析。（1）建立了物种入侵的多密度反应扩散模型，给出了物种成功入侵的充分条件，确定了物种入侵的渐近传播速度；分析了保护区域、交叉扩散、空间异质性等因素对多密度反应扩散模型的动力学行为的影响。（2）建立了具有抑制剂或毒素的非均匀恒化器模型，利用摄动理论、分支理论、度理论等研究了相关模型平衡态解的存在性、唯一性、多重性与稳定性，并构造了相关模型的数值计算格式，采用数值模拟的方法深入分析了物种生长率、扩散、抑制剂或毒素等对模型动力学行为的影响。（3）建立了具有隔离措施和空间异性的传染病模型，利用线性稳定性理论、全局分支理论、Hopf分歧理论、渐近分析以及数值的方法，研究了相关模型的平衡态解与系统的长时行为，分析了时滞、扩散、空间异质性等关键因素对模型动力学行为的影响。研究结果表明入侵种成功入侵后呈现线性传播的规律，而且保护区域、交叉扩散等因素均有利于物种入侵和多种群的共存；扩散、抑制剂、反应函数等因素也有利于物种的非均匀恒化培养；隔离措施、空间异性、饱和发生率等因素对传染病的传播有重要影响。这些研究结果解释和揭示了相关生命现象和规律，理论分析与数值模拟的结果丰富和发展了反应扩散方程的动力学理论与数值计算方法。.四年来，项目组共发表学术论文51篇，其中SCI论文35篇；研究成果获陕西高等学校科学技术一等奖1项；培养博士毕业生2名，硕士毕业生25名；举办学术会议1次，邀请了20多名国内外知名同行专家来校交流与访问，项目组成员参加国际学术会议30余人次；顺利完成了研究计划设定的研究任务。